Exercice Mathématiques 1ère S

[1ereS]

Bonjour, j'aurai besoin de quelques explications pour un exercice de maths qui me parait un peu compliqué s'il vous plait.
Je l'ai commencé mais je reste bloqué dans mon raisonnement.

L'énoncé :
Le professeur de mathématiques poursuit ses explications. Comme de nombreux cloîtres, celui de l'Abbaye Saint Augustin avait les particularités suivantes :
-Le préau-galerie avait une largeur constante
-L'aire du préau-galerie était égale à l'aire du carré intérieur.

Sachant que le cloître était un carré de côté 34m, déterminer la largeur du préau-galerie.

Ce que j'ai fait :
On sait que l'aire d'un carré est : c*c
soit ici 34*34 = 1156m^2
Donc l'aire du cloître est de 1156m^2.
On sait aussi que l'aire du préau-galerie est égale à l'aire du carré intérieur. Donc, l'aire du préau-galerie est également de 1156m^2.

Je reste bloqué à cet endroit. Est-ce que je dois résoudre le problème sous forme d'une équation où x serait la largeur du préau-galerie ?

(J'ai également fait un schéma que j'ai joint ci-dessous)

exomaths.png (1.93 Kio) Vu 632 fois

Merci de me répondre,
Bonne journée.

[mathematixe]

Essaies de décomposer ton préau en plusieurs parties

[1ereS]

D'accord, merci

[1ereS]

Mais même en le décomposant je reste bloqué car je n'ai pas non plus de mesure exacte

[siger]

Bonsoir

Soit x la largeur du preau et 2a le cote du cloitre
le plus simple est de considerer le quart de la figure a partir du centre O des carres

Le quart du cloitre a pour aire (a*a) = a², donc l'aire totale est 4a²
le quart du carré interieur a pour aire (a-x)*(a-x) = (a-x)² et l'aire totale du carré interieur est 4(a-x)² qui est egale a l'aire du preau, donc a la moitié de l'aire du cloitre
.........

[1ereS]

Bonsoir, d'accord, merci beaucoup ! Je vais refaire les calculs et essayer de continuer

[1ereS]

Bonsoir

Soit x la largeur du preau et 2a le cote du cloitre
le plus simple est de considerer le quart de la figure a partir du centre O des carres

Le quart du cloitre a pour aire (a*a) = a², donc l'aire totale est 4a²
le quart du carré interieur a pour aire (a-x)*(a-x) = (a-x)² et l'aire totale du carré interieur est 4(a-x)² qui est egale a l'aire du preau, donc a la moitié de l'aire du cloitre
.........

J'ai remplacé les lettres par les nombres de l'énoncé, ce qui fait :
Le quart du cloitre a pour aire (17*17) = 289, donc l'aire totale est 1156
le quart du carré interieur a pour aire (17-x)*(17-x) = (17-x)² et l'aire totale du carré interieur est 4(17-x)² qui est egale a l'aire du preau, donc a la moitié de l'aire du cloitre

Ensuite, pour trouver x qui est la largeur du préau, j'ai utilisé 4(17-x)² = 4(289-34x+x²) = 1156 -136x +4x²
C'est une fonction de la forme ax² + bx + c, avec a = 4 b = -136 c = 1156

Son discriminant Delta = b² - 4ac = (-136)² - 4*4*1156 = 18496 -18496 = 0
Comme Delta = 0, alors il y a une unique racine

x = -b/2a = -(-136)/2*4 = 17

Mais le résultat me parait très élevé pour la largeur du cloître, non ?

[siger]

Re

il vaut mieux dans un pareil cas garder les valeurs litterales jusqu'au bout

aire du carre interieur 4(a-x)²
aire totale 4a²
d'ou aire du carre interieur = la moitié de l'aire totale
4(a-x)² = 2a²
d'ou 2(a²-2ax+x²) = a²
2x² -4ax +a² = 0
delta = 16a² - ( 8a²) = 8a²
d'ou ....

( avec a = 17!)

[1ereS]

Re

il vaut mieux dans un pareil cas garder les valeurs litterales jusqu'au bout

aire du carre interieur 4(a-x)²
aire totale 4a²
d'ou aire du carre interieur = la moitié de l'aire totale
4(a-x)² = 2a²
d'ou 2(a²-2ax+x²) = a²
2x² -4ax +a² = 0
delta = 16a² - ( 8a²) = 8a²
d'ou ....

( avec a = 17!)

8a² = 1312 = Delta

Comme Delta > 0, alors il y a 2 racines

x1 = -b - racine de delta / 2a = 4,98

x2 = -b + racine de delta / 2a = 29,02

(Je ne sais pas comment expliquer qu'on ne peut pas prendre la valeur de x2 car elle est trop élevée)
La largeur du cloître est de 4,98m

[siger]

re

as tu remarqué que x1+ x2= 34?
4,98 est la largeur du preau ...

[1ereS]

Re,

Ah oui en effet !
Oups, je me suis trompée en tapant, 4.98 est bien la largeur du préau.
Mais comment démontrer que ce n'est pas 29.02 ?