~ Fil du moment~ Difficile: Quelles sont les valeurs de n ?

[lionelvb]

Bonsoir,
Quelle sont les valeurs de n possibles qui vérifient la condition suivante :
n² | 2^n +1

[laetidom]

Bonsoir,
Quelle sont les valeurs de n possibles qui vérifient la condition suivante :
n² | 2^n +1

Bonsoir,

C'est quoi la barre entre et ?

[Lostounet]

C'est la barre de division !

On cherche tous les entiers n tels que:

n^2 divise 2^n + 1

Quelques trivialités:
* n = 3 et n = 1 conviennent
* n est impair

Maintenant il faut voir s'il existe pas des solutions n>3

[lionelvb]

C'est la barre de division !

On cherche tous les entiers n tels que:

n^2 divise 2^n + 1

Quelques trivialités:
* n = 3 et n = 1 conviennent
* n est impair

Maintenant il faut voir s'il existe pas des solutions n>3

Bon départ

[lionelvb]

Bonsoir,
Quelle sont les valeurs de n possibles qui vérifient la condition suivante :
n² | 2^n +1

Bonsoir,

C'est quoi la barre entre et ?

c'est la barre de la division et aussi pas

[zygomatique]

salut

n^2 divise 2^n + 1 => n est impair ...

si n est premier alors d'après le petit théorème de Fermat

si n <> 3 alors n ne divise pas 3 ... à fortiori n^2 ne divise pas 3


seule possibilité : n = 3 ...

[Ben314]

Salut,
Juste pour dire que... je trouve pas...
Si on élargit le problème en cherchant les qui divisent , on tombe sur la (fameuse) séquence (infinie) A006521 qui n'est pas super facile à manipuler.

Bref, ça semble pas être la bonne solution pour montrer que seul n=3 a la propriété demandé (je penche très fort sur le fait que c'est le seul.)

[lionelvb]

salut

n^2 divise 2^n + 1 => n est impair ...

si n est premier alors d'après le petit théorème de Fermat

si n <> 3 alors n ne divise pas 3 ... à fortiori n^2 ne divise pas 3


seule possibilité : n = 3 ...

mais n n'est un nombre premier !

[SimonY]

3 me semble en effet la seule solution possible.

Si n est premier, on a 3 comme solution.

En partant de n n'est pas premier et n est impair, on doit pouvoir arriver à une absurdité.





Là je tente un truc je sais pas si c'est fructueux :

p est premier et est différent de 2 car n est impair, donc p est premier avec

Selon le petit théorème de fermat, on a d'une part :


Or p divise donc divise 2.

Ce qui est une absurdité.

Me suis-je trompé ?

[SimonY]

Voilà la démonstration complète, en espérant qu'elle soit bonne.

Quels sont les n, tels que divise ?

Quelques trivialités...
est impair, donc et le sont tout naturellement aussi.
divise implique que divise et divise équivaut à tout ses diviseurs divisent

On suppose qu'un solution ne soit pas premier mais qu'il soit impair et différent de 1, c'est à dire que avec un entier naturel et un nombre premier différent de 2.

étant premier et différent de 2, il est premier avec .
Ainsi, selon le petit théorème de Fermat, on peut affirmer que :
Or, pour un solution tel que , divise . Ici, 2 doit être multiple de pour réaliser la condition divise . Les multiples de 2 sont 1 et lui même, autrement dit, ne peut pas diviser 2, donc ne peut pas diviser dans le cas où n'est pas premier. Naturellement, ne peut pas diviser

On conclut donc pour l'instant que est forcément premier.

On peut affirmer, grâce au théorème de fermat que :

Et donc divise si et seulement si n est multiple de 3. Or, le seul multiple de 3 premier est 3 lui même. Donc, dans le cas où est premier, ne divise qu'à la condition de valoir 3.

Il nous reste un dernier cas à traiter ; celui où n n'est ni premier, ni composé, celui où n vaut 1. Comme 1 divise , est solution.


On arrive à la conclusion que les seuls divisant sont 1 et 3. Comme divise implique que divise , alors les solutions de divise ne peuvent avoir d'autres valeurs que 1 et 3.

Vérifions désormais que ces peuvent prendre ces deux valeurs.
divise bien et divise bien

On conclut que les deux seuls solutions telles que divise sont et

[zygomatique]

Voilà la démonstration complète, en espérant qu'elle soit bonne.

Quels sont les n, tels que divise ?

Quelques trivialités...
est impair, donc et le sont tout naturellement aussi.
divise implique que divise et divise équivaut à tout ses diviseurs divisent

On suppose qu'un solution ne soit pas premier mais qu'il soit impair et différent de 1, c'est à dire que avec un entier naturel et un nombre premier différent de 2.

étant premier et différent de 2, il est premier avec .
Ainsi, selon le petit théorème de Fermat, on peut affirmer que :
Or, pour un solution tel que , divise . Ici, 2 doit être multiple de pour réaliser la condition divise . Les multiples de 2 sont 1 et lui même, autrement dit, ne peut pas diviser 2, donc ne peut pas diviser dans le cas où n'est pas premier. Naturellement, ne peut pas diviser

On conclut donc pour l'instant que est forcément premier.

On peut affirmer, grâce au théorème de fermat que :

Et donc divise si et seulement si n est multiple de 3. Or, le seul multiple de 3 premier est 3 lui même. Donc, dans le cas où est premier, ne divise qu'à la condition de valoir 3.

Il nous reste un dernier cas à traiter ; celui où n n'est ni premier, ni composé, celui où n vaut 1. Comme 1 divise , est solution.


On arrive à la conclusion que les seuls divisant sont 1 et 3. Comme divise implique que divise , alors les solutions de divise ne peuvent avoir d'autres valeurs que 1 et 3.

Vérifions désormais que ces peuvent prendre ces deux valeurs.
divise bien et divise bien

On conclut que les deux seuls solutions telles que divise sont et

es-tu sur de ton théorème de Fermat ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th% ... _de_Fermat

...

[SimonY]

es-tu sur de ton théorème de Fermat ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th% ... _de_Fermat

...[/quote]


Je viens de m'en rendre compte.. J'ai mélanger les deux formules en les écrivant..

Une autre idée sinon ?

[zygomatique]

non .... aucune ....

[Ben314]

Lemme (classique) :
Preuve : par récurrence sur

Résultat (classique) : Pour tout le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau est cyclique d'ordre et est engendré par la classe de .
Preuve : par récurrence sur en utilisant le lemme.


Soit un entier supérieur ou égal à 2 tel que (donc impair)

1) Considérons le plus petit diviseur premier de (donc ).
mais, comme , on a aussi .
On déduit alors du théorème de Bézout que où .
Mais, vu la définition de , est premier avec donc et le fait que signifie que .

2) Écrivions alors avec et .
, ce qui, au vu du résultat ci dessus signifie que
c'est à dire que ce qui prouve que et donc en fait que .

3) On a donc où . Supposons et soit le plus petit diviseur premier de (donc ).
mais, comme , on a aussi .
On déduit de Bézout que où
vu que est premier avec .
Si alors et on devrait avoir ce qui est absurde.
Donc d'où et qui donne .
Sauf que donc alors qu'on devrait avoir : contradiction.

BILAN : la seule solution est

[Lostounet]

Je n'ai pas fini de lire ta preuve, mais bravo Ben.

Comme toujours, respect et admiration!

(ps. J'épingle ce topic quelque temps afin qu'il ne se noie pas dans la masse et que les participants puissent lire ta réponse).

[nodgim]

Est ce bien du niveau Lycée ?

[Ben314]

Est ce bien du niveau Lycée ?

Les points 1) et 3), modulo de connaitre et/ou démontrer le petit théorème de Fermat, on peut envisager une rédaction niveau Lycée, voir même une rédaction sans congruence (mais ça commencerais à devenir franchement capilotracté).

Par contre le 2), c'est plus compliqué : le lemme est facile même niveau Lycée, mais la preuve de la propriétés juste en dessous demande d'avoir relativement bien compris ce qu'est l'ordre d'un élément dans un groupe et là, c'est vraiment pas gagné.

[SAGE63]

ET.......................à titre de contrôle :

n ******** n² ******** [ (2ⁿ) + 1 ] ******** n²/ [(2ⁿ) + 1 ]

1 ******** 1 ******** 3 ******** 0,33333333333
2 ******** 4 ******** 5 ******** 0,80000000000
3 ******** 9 ******** 9 ******** 1,00000000000
4 ******** 16 ******** 17 ******** 0,94117647059
5 ******** 25 ******** 33 ******** 0,75757575758
6 ******** 36 ******** 65 ******** 0,55384615385
7 ******** 49 ******** 129 ******** 0,37984496124
8 ******** 64 ******** 257 ******** 0,24902723735
9 ******** 81 ******** 513 ******** 0,15789473684
10 ******** 100 ******** 1 025 ******** 0,09756097561
11 ******** 121 ******** 2 049 ******** 0,05905319668
12 ******** 144 ******** 4 097 ******** 0,03514766903
13 ******** 169 ******** 8 193 ******** 0,02062736482
14 ******** 196 ******** 16 385 ******** 0,01196216051
15 ******** 225 ******** 32 769 ******** 0,00686624554
16 ******** 256 ******** 65 537 ******** 0,00390619040
17 ******** 289 ******** 131 073 ******** 0,00220487820
18 ******** 324 ******** 262 145 ******** 0,00123595720
19 ******** 361 ******** 524 289 ******** 0,00068855154
20 ******** 400 ******** 1 048 577 ******** 0,00038146936
21 ******** 441 ******** 2 097 153 ******** 0,00021028509
22 ******** 484 ******** 4 194 305 ******** 0,00011539456
23 ******** 529 ******** 8 388 609 ******** 0,00006306171
24 ******** 576 ******** 16 777 217 ******** 0,00003433227
25 ******** 625 ******** 33 554 433 ******** 0,00001862645
26 ******** 676 ******** 67 108 865 ******** 0,00001007318
27 ******** 729 ******** 134 217 729 ******** 0,00000543147
28 ******** 784 ******** 268 435 457 ******** 0,00000292063
29 ******** 841 ******** 536 870 913 ******** 0,00000156648
30 ******** 900 ******** 1 073 741 825 ******** 0,00000083819
31 ******** 961 ******** 2 147 483 649 ******** 0,00000044750
32 ******** 1 024 ******** 4 294 967 297 ******** 0,00000023842
33 ******** 1 089 ******** 8 589 934 593 ******** 0,00000012678
34 ******** 1 156 ******** 17 179 869 185 ******** 0,00000006729
35 ******** 1 225 ******** 34 359 738 369 ******** 0,00000003565
36 ******** 1 296 ******** 68 719 476 737 ******** 0,00000001886
37 ******** 1 369 ******** 137 438 953 473 ******** 0,00000000996
38 ******** 1 444 ******** 274 877 906 945 ******** 0,00000000525
39 ******** 1 521 ******** 549 755 813 889 ******** 0,00000000277
40 ******** 1 600 ******** 1 099 511 627 777 ******** 0,00000000146
41 ******** 1 681 ******** 2 199 023 255 553 ******** 0,00000000076
42 ******** 1 764 ******** 4 398 046 511 105 ******** 0,00000000040
43 ******** 1 849 ******** 8 796 093 022 209 ******** 0,00000000021
44 ******** 1 936 ******** 17 592 186 044 417 ******** 0,00000000011
45 ******** 2 025 ******** 35 184 372 088 833 ******** 0,00000000006
46 ******** 2 116 ******** 70 368 744 177 665 ******** 0,00000000003
47 ******** 2 209 ******** 140 737 488 355 329 ******** 0,00000000002
48 ******** 2 304 ******** 281 474 976 710 657 ******** 0,00000000001