Propriétés sur les multiples

[Dante0]

Bonsoir,

Au cours d'un exercice j'ai fait face à cette proposition : "On en déduit que 3(m+p) doit etre un multiple de 8, autrement dit m+p lui-même doit être un multiple de 8"
Quelle est la logique derrière cette phrase ?

Par exemple peut-on dire que si 36X est un multiple de 8 alors X est un multiple de 8 ? Je ne saisis pas la logique..

Merci !

[siger]

bonsoir

36x est multiple de 8 si x est multiple de 8 ......puisque 36 ne l'est pas!
et inversement.

[nodgim]

36x est multiple de x si x est pair, puisque 36 est déja multiple de 4.
En revanche, 3(m+n) est multiple de 8 implique m+n soit multiple de 8, puisque 3 est premier avec 8.

[Dante0]

Bonsoir,

Quel rapport avec le fait que 3 soit un nombre premier justement ? Que viennent faire les nombres premiers la dedans ?

[SimonY]

3(m+p) est multiple de 8 <=> 3(m+p)=8k, k dans Z.

C'est en fait une utilisation simple d'un corollaire du théorème de Gauss

a est premier avec c
c divise ab

ceci équivaut à c divise b

Démonstration :

3(m+p) se décompose en facteur premier de cette manière : 3*p1*p2*...*pn
Or, 8 divise 3(m+p), donc dans la décomposition il y a forcément 2^4.
Donc la décomposition est 3*2^4*p1*p2*...*pn=3(m+p)
et donc (m+p)=2^4*p1*...*pn
et donc (m+p) est divisible par 8.