Propriétés sur les suites

[BenBiz]

Bonjour à tous, j'ai la proposition suivante :
"Si u converge, alors u est bornée."

Je dois dire si cette proposition est vraie ou fausse.
Je pense qu'elle est fausse, mais j'arrive pas à trouver un bon contre-exemple, j'ai pensé à une suite définie par :

Un+1 = 1 / Un

Si on choisit Uo très petit, u n'est pas majorée, mais est minorée par 0 et est décroissante.

Voilà, si quelqu'un pouvait m'éclairer.....

BenBiz

[le_fabien]

pour moi elle est vraie.
si Un converge vers une limite a alors pout tout e>0 il existe N entier tel que n>N on ait |Un-a|Ce qui veut dire que pour n>N on ait a-eN on a bien Un bornée.
Puis pour n compris entre 0 et N il y a donc un nombre fini de termes et ces N+1 termes sont majorés par le plus grand et minorés par le plus petit.
Donc si U est convergente alors elle est est bornée.

[BenBiz]

Je dirai que si la suite est monotone, alors la propriété est vraie.

Mais si la suite oscille, avec amortissement par exemple, peut-on dire qu'elle est bornée ??

[le_fabien]

la suite Un=(sin n)/n pour n>0 oscille converge et est bornée par 1 et -1

[BenBiz]

Okok, je m'incline ^^

Merci pour ton aide :)