Dérivée d'une somme infinie

[flashnext]

Bonjour !

Je suis en train d'étudier les séries, et je ne comprends pas pourquoi une somme infinie de termes n'est pas toujours dérivable terme à terme (alors qu'une série finie est bien sûr dérivable terme à terme). Pourquoi ce principe ne s'étend-il pas aux séries infinies ? J'ai cherché un contre-exemple sur internet sans en trouver…

Si vous avez un contre-exemple ou des explications théoriques, je pense que vos renseignements pourraient beaucoup m'aider à m'éclaircir les idees.

Merci de m'avoir lu, bonnes fêtes et bonne journée !

[arnaud32]

regarde la suite de fonctions
les fonctions sont toutes C1 la suite de fonctions converge uniformément vers |x| qui n'est pas derivable en 0

[Ben314]

Salut,
Il faut surtout bien comprendre que l'infini, c'est tout sauf un truc banal. Ca demande systématiquement des définitions très rigoureuses (en fonction du contexte).
Par exemple, de savoir ajouter un nombre fini de réels est clairement insuffisant pour avoir une idée de ce que peut signifier une somme infinie : il faut en plus savoir ce qu'est une limite et en avoir une définition extrêmement rigoureuse (avec ces epsilons) pour pouvoir démontrer certaines propriétés des sommes infinis.
Pour te donner l'exemple sans doute le plus simple de ce qui déconne avec l'infini, c'est que l'on perd la commutativité des sommes : une somme finie de réels, tu la fait dans l'ordre que tu veut, ça ne change pas la valeur de la somme alors que pour une somme infinie, la valeur de la somme peut dans certains cas dépendre de l'ordre dans laquelle on somme les éléments.
Et c'est la même chose pour quasiment tout : une somme finie de fonction continue est continue. Une somme infinie ne l'est pas forcément.
Un autre exemple archi. classique, c'est la longueur des courbes : si une suite de fonctions converge (même uniformément) vers une fonction f sur un intervalle [a,b], la longueur des courbes des fonctions ne converge pas forcément vers la longueur de la courbe de f.
En résumé, le fait que ça ne "marche pas" pour la dérivation fait tout a fait partie du cas général où ça ne "marche pas" avec l'infini alors que ça marche avec le fini.

Résumé (bis et répétita) : l'infini, c'est pas un truc qu'on manipule "naïvement"

[flashnext]

D'accord, merci de vos réponses ! Effectivement, des résultats bien contre-intuitifs…
La définition d'une limite qu'on nous a donné en Prepa, c'est que si on peut toujours trouver x tel que |f(x)-l|<;) (pour tout ;)), alors f converge vers l.

[MouLou]

D'accord, merci de vos réponses ! Effectivement, des résultats bien contre-intuitifs…
La définition d'une limite qu'on nous a donné en Prepa, c'est que si on peut toujours trouver x tel que |f(x)-l|<;) (pour tout ), alors f converge vers l.

mouuuuuuaaaaaais

[mathelot]

[quote="flashnext"]D'accord, merci de vos réponses ! Effectivement, des résultats bien contre-intuitifs…
La définition d'une limite qu'on nous a donné en Prepa, c'est que si on peut toujours trouver x tel que |f(x)-l|0 \exists \alpha>0[/TEX] tel que

[flashnext]

tel que

C'est bien ce principe qu'on nous a donné (je ne sais pas comment écrire en langage mathématique, je suis sur iPad).

[Ben314]

D'accord, merci de vos réponses ! Effectivement, des résultats bien contre-intuitifs…

Le problème, c'est que l'infini, c'est tout sauf intuitif...
Pendant très longtemps, les matheux se sont méfiés comme la peste de l'infini à cause des paradoxes qu'il entraine (celui d'Achille et la tortue par exemple). C'est Cantor au début du siècle dernier qui "a mis les pieds dans le plat" en acceptant de manipuler des truc infinis. Au début, ça a été très mal pris par une majorité de matheux et ça a rapidement conduit à de nouveaux paradoxes (le paradoxe de Russell en particulier dont on a mis longtemps a se débarrasser et les méthodes pour s'en débarrasser sont assez complexes...). Avec le temps, les thèses de Cantor ont finies par être acceptées, mais ça a hélas conduit à une espèce de "banalisation" de l'infini qui fait qu'on pourrait croire que c'est un concept "simple" alors que ce n'est pas le cas du tout.

[aymanemaysae]

C'est avec un grand plaisir que je lis vos interventions sur ce site: je ne jette pas des roses, c'est la pure vérité. C'est toujours constructif et la manière y est.