Equation difficile

[lucildo1401]

Bonjour,

est-ce que quelqu'un sait m'aider à résoudre l'équation suivante: ?

Merci d'avance.

[Lostounet]

Bonjour,

Tu cherches à résoudre dans ZxZ ? Ou bien tu cherches à exprimer x en fonction de y ?

[lucildo1401]

Je cherche toutes les solutions dans Z

[lulu math discovering]

Vas-y ;);););););););););), ça m'intéresse aussi ! (retour du kikoo)

[zygomatique]

salut

pour faire avancer le schmilblick ...

modulo 7 évidemment ::




donc x est congru à 2, 3, 4 rt 5 modulo 7 .... pour être solution ...

:zen:

[Lostounet]

Ok c'est plus difficile alors :ptdr:
C'est du niveau Terminale S?

Modulo 7, l'équation fournit:



Une table de congruences permet de conclure que:
x = 2 [7]
x = 3 [7]
x = 4 [7]
x = 5 [7]

Donc x = 7n + 2 (par exemple)

Ensuite en remplaçant, on isole 2^y = ... (en fonction de (7n + 2))

Et on peut raisonner sur la parité de ce membre... est-il toujours une puissance de 2? :hein:

Edit: Grillé par Zygomatique

[zygomatique]

et donc sans modulo 7 l'équation est bien sur équivalente à

....

[Lostounet]

Ok mais la plus belle partie (où je bloque) c'est de voir pour quelles valeurs est-ce que
2^y = quelque chose => y entier :D

Comment faire?

[lucildo1401]

C'était jusque là que j'étais arrivé, mais on n'a trop de solutions. Par exemple, 9 ne fonctionne pas...N'y a-t-il pas mieuc comme solution?
Je ne comprends pas ce que tu demandes... :hein:

[Lostounet]

C'était jusque là que j'étais arrivé, mais on n'a trop de solutions. Par exemple, 9 ne fonctionne pas...N'y a-t-il pas mieuc comme solution?
Je ne comprends pas ce que tu demandes... :hein:

Justement, pour quelles valeurs de n, cette chose horrible:
?
implique-t-elle que y est un entier

[Lostounet]

Déjà si n est pair, j'ai pas l'impression que c'est possible y'a un pb de parité (pour y>=1)

[lucildo1401]

Effectivement, il ne peut pas être impair. Mais cela ne nous aide pas tellement, si?

[lucildo1401]

Cela n'est pas suffisant puisque 16 par exemple ne fonctionne pas non plus...

[Lostounet]

Oui ça veut juste dire que n impair ne fonctionne pas.
Cela ne veut pas forcément dire que tout n pair est valable !
Il reste à exhiber des conditions sur n pour que ça marche. Pour l'instant je ne vois pas. Attendons les monstres de maths-forum :ptdr:

[chan79]

il y a au moins les solutions
(x;y)=(3;2)
(x;y)=(-3;2)

mais bon ...

[lucildo1401]

Je pense avoir trouvé qq chose...
Pour prouver que y n'est pas négatif, c'est très simple puisque si il était négatif (dans l'équation de base), on aurait une fraction qui ne peut jamais être entière(sauf si ou puisque 7 est premier) alors que est toujours entier.
On peut donc uniquement avoir ou . Il n'y a aucune possibilité pour la première, mais il y=-1 pour la deuxième... On a donc y>-2

puisque n est pair, on peut étudier l'équation modulo 14: , donc , donc avec y>0, ce qui est faux. En essayant avec y=0, on a qui est faux et en essayant avec y=-1, on a bien qui est vrai modulo 14.

Donc, peut importe le nombre que tu avais nommé n, si y=-1, ce n'est pas forcément faux, et sinon, c'est faux. Après, il faut voir pour les trois autres cas et voir, avec y=-1, avec quels n l'équation fonctionne.

[lucildo1401]

Ensuite, si x=3+7n, on remarque que n est quand même pair. On a donc, toujours modulo 14, avec y>0. On a donc ensuite , puis modulo 14 est vrai... Donc, avec tout x=3+7n, sera entier (mais pas forcément puissance de 2).

Si x=4+7n, on remarque qu'on a n pair. L'équation modulo 14 se réécrit qui est faux. Encore une fois, cela ne fonctionne pas avec y=0 non plus, mais bien avec y=-1.

Enfin, si x=5+7n, on remarque que n est toujours pair. L'équation modulo 14 se réécrit alors , qui fonctionne...


Pour résumer, on a qui est entier, mais pas forcément une puissance de deux:
-soit avec x=3+7n
-soit avec x=5+7n
Pour le cas où y=-1, on a donc , donc qui n'est jamais vrai...

[azertyuiop1234567890AZERT]

Est-ce que c'est bien ça?

[Lostounet]

Pourquoi poste-tu depuis deux comptes différents?
Lucildo et Azerty... Tu as oublié ton mot de passe? :P

[lucildo1401]

Oui, je l'avais oublié mais je viens de voir le bouton oublié? et j'ai réinitialisé. :we:
Bref, ce que j'ai fait est bon (ou au moins en partie)?