Inégalité à deux inconnues

[BastienCa]

Bonjour à tous,

Je suis en 1er année d'ECS (prépa HEC) et j'ai un DM pour demain, je bloque sur le dernière exercice dés la 2ème question :
Montrer que pour tout (x,y) ;) à [1;+;)]², x+y-1;)xy;)((x+y)/2)²
J'ai réussi à prouver que xy;)((x+y)/2)² mais pas le reste, de plus dans la 2ème partie de la question il faut déduire que pour tout n ;) N*, n^(n/2);)n!;)((n+1)/2)^n, sauf que je ne vois pas le réellement le lien entre les deux inégalités..
Merci d'avance !

[chan79]

Bonjour à tous,

Je suis en 1er année d'ECS (prépa HEC) et j'ai un DM pour demain, je bloque sur le dernière exercice dés la 2ème question :
Montrer que pour tout (x,y) à [1;+;)]², x+y-1;)xy;)((x+y)/2)²
J'ai réussi à prouver que xy;)((x+y)/2)² mais pas le reste, de plus dans la 2ème partie de la question il faut déduire que pour tout n N*, n^(n/2);)n!;)((n+1)/2)^n, sauf que je ne vois pas le réellement le lien entre les deux inégalités..
Merci d'avance !

salut
Montrer que pour tout (x,y) à [1;+;)]², x+y-1;)xy
pose
x=1+a
y=1+b
avec a et b positifs ou nuls

[BastienCa]

Si j'ai bien compris, on fait :
On pose x=1+a et y=1+b, on a alors :
1+a+1+b-1;)(1+a)(1+b)
1+a+b;)1+b+a+ab
0;)ab, or a et b positifs ou nuls, donc cette inégalité est juste donc, l'inégalité de départ est vérifiée
C'est ça ?

[BastienCa]

De plus, comment justifier l'inégalité suivante avec n^(n/2),n! et ((n+1/)2)^n ?

[zygomatique]

salut

xy - (x + y - 1) = xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1)

....

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-612996.html



et il serait bien de nous donner l'énoncé complet .... :mur:

[BastienCa]

L'énoncé complet n'est pas plus long, il y'a une question auparavant qui est : "démontrer pour tout n appartenant à N*, n! = produit de i=1 à n de racine de (i(n+1-i))
Et puis c'est tout, après il faut démontrer les inégalités avec x et y (ce que j'ai réussi grâce à l'astuce) puis en déduire que pour tout n appartenant à N*, n^(n/2);)n!;)(n+1/2)^n

[zygomatique]

ha ...

et i + n + 1 - i = .... ?

d'autre part dans n^(n/2) n'y a-t-il pas une racine carrée qui apparaît ....

enfin ce n'est que des idées ....

[chan79]

L'énoncé complet n'est pas plus long, il y'a une question auparavant qui est : "démontrer pour tout n appartenant à N*, n! = produit de i=1 à n de racine de (i(n+1-i))
Et puis c'est tout, après il faut démontrer les inégalités avec x et y (ce que j'ai réussi grâce à l'astuce) puis en déduire que pour tout n appartenant à N*, n^(n/2);)n!;)(n+1/2)^n

essaie par récurrence

[BastienCa]

zygomatique : oui, on peut éventuellement noter n^(n/2), racine de n puissance n, mais bon, je vois pas où ça m’amène..