Narration de recherches 1ere S

[Doridoriane]

Bonsoir,
J'ai une narration de recherches a rendre pour le 17 mars sur laquelle j'ai travaillée quasiment toute la journée. Voici l'énoncé: Un berger veut construire un enclos pour ses betes. Il possède 10 poteaux et une trentaine de fil de fer. Quel est le plus grand enclos qu'il puisse construire?
J'ai trouvé comme plus grand enclos un octogone (donc 8 poteaux) de 75m2. J 'ai aussi mis en evidence que le carré est le quadrilatere ayant la plus grande aire et que le triangle equilatéral est le triangle ayant la plus grande aire qui sont toutes les 2 inferieures a 75m2. Je voudrais savoir s'il y a d'autres possibilités superieures a 75m2.
Merci d'avance

[Miguelito]

Bonsoir,
J'ai une narration de recherches a rendre pour le 17 mars sur laquelle j'ai travaillée quasiment toute la journée. Voici l'énoncé: Un berger veut construire un enclos pour ses betes. Il possède 10 poteaux et une trentaine de fil de fer. Quel est le plus grand enclos qu'il puisse construire?
J'ai trouvé comme plus grand enclos un octogone (donc 8 poteaux) de 75m2. J 'ai aussi mis en evidence que le carré est le quadrilatere ayant la plus grande aire et que le triangle equilatéral est le triangle ayant la plus grande aire qui sont toutes les 2 inferieures a 75m2. Je voudrais savoir s'il y a d'autres possibilités superieures a 75m2.
Merci d'avance

Je suppose qu'il s'agit de 30m de fil de fer, pour un périmètre donnée la plus grande surface possible est constitue par un polygone régulier ayant le plus grand nombre possible de cotes, cette surface maximum tend vers la surface du cercle ayant le périmètre donnée.
Dans ton cas la surface du cercle serait de 71.6 m², tu ne pourras pas trouver une surface supérieure a ça, je pense que ta surface de 75 m² pour l'octogone est fausse. En tenant compte de ce qui est dit au-dessus il faut utiliser les dix poteaux et faire un décagone régulier. la surface sera de 69.25 m²

[Doridoriane]

Oui il s'agit de 30m de fil de fer, du coup la figure choisie serait le décagone régulier et j'obtiendrai la surface que t'as annoncé. Ça me semble plus cohérent car etant donné que l'octogone a un nombre de cotés plus petit que le décagone,ça semble impossible que ce soit l'aire maximale que je puisse trouver car j'avais essayé avec le décagone et j'ai trouvé une aire plus petite. En ce moment en maths, chui un peu a la ramasse ^^
Merci pour ta réponse

[Doridoriane]

Pourquoi passe-t-on de 69,25 m2 à 71,6 ?

[Miguelito]

Pourquoi passe-t-on de 69,25 m2 à 71,6 ?

69.25 m² est le maximum que tu peux obtenir avec 10 poteaux, pour arriver à 71.6 il faudrait que tu places ton fil de fer en cercle avec une infinité de poteaux.

[Doridoriane]

69.25 m² est le maximum que tu peux obtenir avec 10 poteaux, pour arriver à 71.6 il faudrait que tu places ton fil de fer en cercle avec une infinité de poteaux.

Donc la réponse definitive est 69,25m2 ? Si je veux parler du fait qu'avec une infinité de poteaux, la surface peut atteindre 71,6m2, y-a-t'il un moyen mathématique de l'écrire ?

[Ben314]

Donc la réponse definitive est 69,25m2 ? Si je veux parler du fait qu'avec une infinité de poteaux, la surface peut atteindre 71,6m2, y-a-t'il un moyen mathématique de l'écrire ?

A mon avis, déjà, évite de parler de "une infinité de poteaux" ce qui ne veut franchement rien dire et exprime toi plutôt sous la forme :
"Lorsque le nombre de poteaux devient de plus en plus grand, la surface devient de plus en plus proche de la surface du cercle"
(phrase qui a le bon gout de ne pas contenir le mot "infini"...)

Ensuite, oui, il y a moyen de le prouver proprement, mais cela utilise (évidement) le langage des limite et je ne crois pas que ce soit au programme de première.

A ta place, je réfléchirais plutôt pour voir si tu arrive à prouver que, avec n poteaux et une longueur de cloture fixé, c'est le polygône régulier à n cotés qui maximise la surface.
C'est tout à fait faisable au niveau première mais... ce n'est pas évident à trouver...

[Doridoriane]

Pour prouver cela, est-ce que je dois partir sur le taux d'accroissement ?

[Ben314]

A priori, ça va principalement être des considérations purement géométrique (j'ai pas trop réfléchi à la preuve...)
Commence par regarder ce qu'il se passe lorsque tu ne t'autorise à déplacer qu'un seul des poteaux en le plaçant "entre" deux poteaux fixés. (le "entre" ne veut évidement pas dire sur le segment reliant les deux poteaux fixés)
Où le mettre pour avoir une surface maximale ?

[Doridoriane]

Je pense que le poteau doit etre le plus proche possible de la surface du cercle pour que l'aire soit maximale.