Loi de groupe

[magy]

Pardon!!la ligne contient 0,1,2...jusqu'à 10,de meme que la colonne

[Ben314]

Pardon!!la ligne contient 0,1,2...jusqu'à 10,de meme que la colonne

oui, et pour la multiplication, c'est qui le neutre? elle contient quoi la ligne/colonne du neutre ?
et pour un groupe quelconque, elle doit contenir quoi la ligne/colonne du neutre ?

[magy]

Pour la multiplication le neutre c'est 1, la ligne contient 0,1..10 et la colonne contient 0,0..Pour un groupe quelquonque la ligne du neutre doit contenir tous les elements du groupe de meme que la colonne.

[Ben314]

Pour la multiplication le neutre c'est 1, la ligne contient 0,1..10 et la colonne contient 0,0..Pour un groupe quelquonque la ligne du neutre doit contenir tous les elements du groupe de meme que la colonne.

La colonne du 1 (et pas du 0), elle contient elle aussi 0,1,2,3,...
En fait, si le neutre est e, par définition (du neutre), pour tout x tu doit avoir e*x=x et x*e=e.
Donc non seulement la ligne du e doit contenir tout les éléments du groupe (comme toutes les autres lignes...) mais ces éléments doivet être dans le même ordre que dans la ligne "extérieure" du tableau.
Idem pour les colonnes.
Dans tes exemples, ça te permet en particulier de dire que le dernier (à 4 éléments) n'est pas un groupe : il n'y a pas de neutre : il y a bien une ligne contenant "a b c d", à savoir la première, mais la colonne correspondant (la première) ne contient pas "a b c d" donc c'est pas la peine d'aller plus loin.

[magy]

Donc ici,montrer l'existence d'un element neutre suffit pour dire si on a une loi de groupe ou pas?

[Ben314]

Donc ici,montrer l'existence d'un element neutre suffit pour dire si on a une loi de groupe ou pas?

Non : les axiomes pour les groupes, c'est :
(0) Une loi interne (bon, ça si on est dans le cas fini et qu'on a la table, c'est foçément vrai)
(1) La loi est associative
(2) Il existe un neutre
(3) Tout élément admet un symétrique.

Les points (1),(2) et (3) impliquent (preuve à savoir refaire) que pour tout a fixé du groupe, les application x->ax et x->xa sont bijectives, mais c'est loin d'être suffisant.
Il faut donc absolument vérifier les 3 axiomes pour être sûr d'avoir affaire à un groupe.

[magy]

OK,merci pour votre aide!

[magy]

Une derniere question s'il vous plait.
Si on dit qu'une loi est definie sur E ou bien est dans E c'est pas la peine que je montre qu'elle est interne?

[Ben314]

Une derniere question s'il vous plait.
Si on dit qu'une loi est definie sur E ou bien est dans E c'est pas la peine que je montre qu'elle est interne?

Concernant le coté "loi interne", c'est pas vraiment le problème de savoir si c'est tel ou tel mot qui est employé dans l'énoncé, mais plutôt de voir si, vu la définition de la loi en question, il est complètement évident que le résulta de a*b est un élément de G dans tout les cas ou bien si ce n'est pas complètement évident.
Trés souvent, en corrigant un exo de ce type, je me rend compte que je n'ai même pas parlé du coté "interne" de la loi vu que dans cet exo. là, c'est totalement évident.
Si par exemple on te dit que sur R on définit x#y comme étant égal à x+y-xy, ben je pense pas que ce soit utile de préciser que, lorsque x et y sont des réels alors x+y-xy est aussi un réel.
Par contre, si on te dit que, sur R\{1} on définit x#y comme étant égal à x+y-xy, ben là, c'est pas clair du tout que x+y-xy va être différent de 1 lorsque x et y le sont donc il y a quelque chose à vérifier.

[magy]

OK!!Meerci!!!