Etude fonction logistique

[cacatout]

Bonjour, j'ai besoin de votre aide! voici l'énoncé:
sois f la fonction définie sur [0,10] par: f(t) = 12
........................................................... 1+3e^-t/2
Question: avec un logiciel de calcul formel, on obtient, pour tout t de [0,10]:
f'(t)= 18e^-t/2
.......(1+3e^-t/2)^2

Comment je peux vérifier par le calcul que f'(t) est bien sa?

[Monsieur23]

Aloha,

Tu peux calculer directement la dérivée, avec la formule de la dérivée d'un quotient…

[cacatout]

Merci, donc la formule pour dériver un quotient est bien: u'v-uv'
...........................................................................v^2

[Monsieur23]

Oui, c'est ça.

[cacatout]

u=12
v=1+3e^-t/2
u'=0

[Robic]

C'est plus rapide de considérer que f est de la forme 1/u : sa dérivée est alors -u'/u² (le facteur 12 n'est qu'un facteur multiplicatif qu'on laisse devant).

,
,

donc .

Pour obtenir f', on multiplie par le facteur 12, et comme 12 x 3/2 = 18, ça donne bien le résultat annoncé.

[cacatout]

Je te remercie beaucoup! :) Tout ce qui concerne les dérivées, est très très flou pour moi..

[cacatout]

Si j'étudie le signe de f'(t) sur [0,10], le signe est positif car (1+3e^-t/2)^2. est ce bon?

[Robic]

Et car le numérateur est un exponentiel, qui est positif.

[cacatout]

Mais après comment je fais pour faire le tableau de variation?

[Robic]

Comment ça comment tu fais ? La dérivée est positive, donc la fonction est croissante, donc tu mets une flèche qui monte vers le haut.