Volume d'une calotte sphérique

[Falbala63]

Bonjour !

Alors voici mon problème : Je suis actuellement en 1ereS et j'ai des TPE (Travaux Personnalisés Encadrés) à faire. Mon TPE est sur la mousse au chocolat et je dois calculer le volume de la mousse. Pour cela, il me faut le volume d'une calotte sphérique ( Pi*h²(3R-h)/3 ). Jusqu'ici, pour les calculs c'est bon.Sauf que pour mon oral il me faut la démonstration de ce volume, et quand je cherche sur internet je ne comprend rien !

S'il vous plait, est ce que quelqu'un pourrait m'aider et m'expliquer, merci d'avance ! :help:

[siger]

Bonjour

En travaillant en coordonnees cylindriques ro, teta et z on obtient le volume de la calotte par une triple integration
dv = ro*d(ro)*d(teta)*dz
teta varie de 0 a 2pi
z varie de R-h a R
ro varie de 0 a V(R² - z²)

On peut integrer sans difficulte sur teta
comme z et ro sont lies on integre sur ro d'abord puis sur z

Int(ro*d(ro) = (1/2) *ro² d'ou S= (1/2)(R²-h²)
Int (( R²-z²) d(z) = (R²z - z³/3)
d'ou
V = (2pi)*((1/2) (h²)*(R-h/3)

[chan79]

Salut
On peut aussi sommer les volumes des cylindres d'épaisseur dx (x variant de R-h à R)

soit

[tototo]

Bonjour,

En appliquant la propriété de Pythagore au triangle OHA rectangle en H, nous obtenons :

r = (R² - OH²) en nommant d la distance OH on a : r = (R² - d²)

En nommant h la hauteur de la calotte (R = d + h ), on obtient aussi : r = R² - (R-h)² = 2Rh - h²

La surface sphèrique de la calotte est égale à S = 2;)Rh.

Le volume de la calotte est égal à V = h²(3R - h)÷3.

démonstration :

En suivant la même méthode que pour la démonstration du segment sphérique de la page suivante volume d'un segment sphérique il suffit d'effectuer la somme entre 0 et h, on obtient alors :

0h;)(2Rx - x²)dx = [;)(Rx² - x³/3)]0h = (Rh² - h³/3) = h²(3R - h)÷3 ou encore

formule du volume d'une calotte spherique:
V=pi*R^2/3(3R-h)

source :http://calculis.net/comment/calotte-spherique-15

[Falbala63]

Merci beaucoup pour vos informations, mais il n'y a pas un autre moyen d'avoir la démonstration sans des intégrales ? Parce que je ne suis qu'en première et je n'ai pas encore vu les primitives...

[Black Jack]

Merci beaucoup pour vos informations, mais il n'y a pas un autre moyen d'avoir la démonstration sans des intégrales ? Parce que je ne suis qu'en première et je n'ai pas encore vu les primitives...

J'ai bien peur que non.

Mais ce n'est pas la seule chose qu'on ne sait pas démontrer en première.

Tu connais par exemple le volume d'une boule ou celui d'un cône et pleins d'autres ... que tu ne sais pas demontrer (pareil pour les aires).

On commence par devoir les connaître par coeur pour pouvoir s'en servir ... même avant d'être capable de les retrouver.

:zen:

[chan79]

Salut
On peut retrouver cette formule avec le théorème de Guldin mais on n'est pas au niveau lycée; pour localiser le centre de gravité du demi segment circulaire, en rouge, il faut d'ailleurs calculer une intégrale ...

[Falbala63]

D'accord, je vois que j'ai visé un peu haut :happy3:
En tout cas merci de m'avoir répondu, j'ai réussi à trouver des choses à dire ! :lol3:
Bonne continuation :zen:

[paquito]

D'accord, je vois que j'ai visé un peu haut :happy3:
En tout cas merci de m'avoir répondu, j'ai réussi à trouver des choses à dire ! :lol3:
Bonne continuation :zen:

Bonjour,
on est bien obligé en 2° d'admettre que le volume d'une sphère vaut: (4/3)pi.R^3 ou que le volume d'un cône vaut (1/3)pi.R².h; mais de toutes façons, on admet tout, ce qui évidemment n'est pas satisfaisant pour l'esprit, mais c'est le programme!