On suppose que le nombre X de voitures se présentant, à une barrière de péage, sur une période de temps de une heure, suit une loi de Poisson de paramètre λ>0.La barrière comporte N postes de péages. On suppose que chaque voiture choisit un poste de péage au hasard et on s'intéresse au nombre Y_k de voitures se présentant en une heure au poste de péage n°k.
Voici les résultats qu'on obtient:
1) bien sûr les Y_k ont toutes la même loi...
2) en passant par la loi conditionnelle de Y_1 sachant (X=n), on obtient après calculs que Y_1 suit une loi de Poisson de loi λ/N ,ce qui est d'ailleurs logique..
3) ensuite on s'intéresse à la covariance de (Y_1,Y_2) (par exemple), et on trouve 0 , en écrivant que cov(Y_1,Y_2)=1/2 [V(Y_1+Y_2)-V(Y_1)-V(Y_2)) et en remarquant que Y_1 +Y_2 suit une loi de Poisson de paramètre 2λ/N (même calcul que 2) en considérant les postes 1 et 2 rassemblés dans un seul gros poste de péage qui compte pour deux)
4) ensuite le livre fait remarquer que pourtant Y_1 et Y_2 ne sont pas indépendantes, et calcule pour ça:
P(Y_1 = 1 , Y_2=1) = e^(-2λ/N) .2λ/N alors que P(Y_1 = 1) . P(Y_2=1) = e^(-2λ/N) . (λ/N)^2
c'est là que je ne suis pas d'accord!e^(-2λ/N) .2λ/N est la probabilité que Y_1 + Y_2 soit égale à 1 (d'après la loi de Y_1 + Y_2 )
or Y_1 + Y_2 vaut 1 si et seulement si Y_1 = 1 et Y_2=0 ou Y_2 = 0 et Y_1 =1 , mais je ne vois pas le lien avec (Y_1 = 1 , Y_2=1)
d'où ma question: pensez-vous qu'il est simple de calculer P(Y_1 = 1 , Y_2=1) ?
ou de façon plus générale la loi du couple, ou au contraire de façon plus simple la proba d'un évènement qui permettrait de montrer qu'elles ne sont pas indépendantes?
merci!
