Vitesse de convergence d'une suite

[Zavonen]

Bonjour,
J'énonce un résultat qui traîne un peu partout:
Soit une suite de réels qui possède les deux propriétés suivantes:


où k est une constante vérifiant 0<k<1 .
Dans ces conditions montrer que:
converge
Si a est la limite de la suite , on a également:

Le premier point est assez facile a établir, et ma question ne porte pas là-dessus.
Ma question porte sur la seconde assertion.
On peut lire partout 'il est évident que' ou 'on admettra que' (qui est sans doute plus honnête) mais personne ne rappelle jamais la démonstration de ce résultat.
Je m'y suis essayé (en vain).
J'ai réussi à démontrer un tas de choses sous ces hypothèses mais pas exactement le second point.
Donc, soit je passe à côté de quelque chose de simple et d'évident (le plus probable). Soit ce résultat est particulièrement difficile à démontrer et c'est pourquoi les auteurs bottent en touche. Soit, enfin ce résultat est faux (peu vraisemblable, mais ...).
Avez-vous des idées?
Merci.

[ToToR_2000]

Bonjour

Je pense que l'énoncé est correct.

Si tu poses , alors cela veut dire que et que .

La première question permet de montrer que la série des converge vers .

On a donc:

Ensuite le point le plus "dur" est de montrer que mais ça doit être vrai, ce qui te permet d'utiliser un théorème de sommation des restes de série convergente sur la série des .

Le reste n'est que du calcul.

[Ericovitchi]

Souvent pour ce genre de démonstration, il faut utiliser le critère de d'Alembert :
Si (Un) est une série à termes positifs
telle que tend vers k, alors si k 1, alors la série diverge.

En l'occurrence en posant , ça résout ta première question.
Pour la seconde, j'ai cherché un peu mais je n'ai pas encore trouvé.

[Zavonen]

La première question permet de montrer que la série des.

Oui, mais on peut très bien le faire sans les séries en montrant que la suite vérifie le critère de Cauchy. Mais ce n'est pas mon problème.
Mon problème c'est:

Ensuite le point le plus "dur" est de montrer quemais ça doit être vrai, ce qui te permet d'utiliser un théorème de sommation des restes de série convergente sur la série des k_n. Le reste n'est que du calcul.

Je n'ai a priori rien contre l'utilisation de résultats concernant les séries bien que ce problème concerne les suites en général. Il me semble qu'on peut s'en dispenser.
C'est à peu près la même chanson qu'on trouve partout" C'est technique, c'est du calcul".OK! mais moi je ne suis pas assez malin pour le trouver alors je voudrais voir une démo complète. Le problème est que quand j'utilise la définition des limites il y a une circularité que je n'arrive pas à éliminer.

[ToToR_2000]

Oui, mais on peut très bien le faire sans les séries en montrant que la suite vérifie le critère de Cauchy. Mais ce n'est pas mon problème.

J'avais compris le problème, et je me doutais que les suites de Cauchy devaient permettre de conclure à la convergence (bien que je n'ai pas essayé de le faire).
Mon speech du début sur les séries ne fait qu'introduire des notations pour la seconde question.

Mon problème c'est:

Je n'ai a priori rien contre l'utilisation de résultats concernant les séries bien que ce problème concerne les suites en général. Il me semble qu'on peut s'en dispenser.

J'estime que c'est une erreur de vouloir segmenter les démonstrations à une série d'arguments classiques pour le domaine qu'on étudie, ça empêche d'avoir un supplément d'idées.

C'est à peu près la même chanson qu'on trouve partout" C'est technique, c'est du calcul".OK! mais moi je ne suis pas assez malin pour le trouver alors je voudrais voir une démo complète. Le problème est que quand j'utilise la définition des limites il y a une circularité que je n'arrive pas à éliminer.

Ta remarque est un peu injuste car à part l'équivalence, tout le reste est facile à montrer, tu seras d'accord.
Mais bon, je dis "un peu" parce que tu as raison de râler: l'équivalence des que je pensais bonne est fausse.

Mais c'est en essayant de la prouver qu'on peut le voir... et c'est ce qui donne l'idée d'essayer un contre-exemple:



J'ai fait les calculs et sauf erreur bien sûr, cette suite vérifie la conclusion de la première question mais pas de la seconde.

[Zavonen]

Pas étonnant que je ne parvenais pas à le démontrer.
Ce résultat est faux !
J'ai enfin fini par trouver (sur le web) un contre-exemple.
On a le résultat beaucoup plus faible qui suit:
Si les deux limites existent alors la première est égale à la seconde.
On ne peut donc seulement utiliser ce résultat pour calculer la vitesse de convergence quand on sait a priori qu'elle existe, et encore... Si la première limite n'existe pas on ne peut en tirer aucune conclusion.
De fait on peut oublier ce théorème qui n'en est pas un, et dont l'utilité est plus que discutable.
Ce qui n'empêche pas les auteurs d'exercices de reprendre l'énoncé en chœur, à l'unisson.
C'est la loi de propagation des erreurs dans toute sa splendeur.
Méfiez vous des choses évidentes!
contre-exemple

[mathelot]

bonjour,

je n'ai pas fait les calculs jusqu'au bout.

1er temps:


avec l'égalité exacte (sans indication de la limite), l'aspect téléscopique
de l'égalité permet de calculer explicitement le terme général


2ème temps:
avec l'énoncé comprenant la limite, encadrer le quotient entre et
et refaire les calculs