Vecteur stochastique

[Lostounet]

Bonjour,

Soit Mx un vecteur dont la somme des éléments vaut 1
Sachant que x a la somme de ses éléments qui vaut 1, comment je peux montrer que M est de Markov?

(c'est des vecteurs de probabilités)
J'ai essayé plusieurs pistes, en dim 2 mais cela n'aboutit pas...

Merci

[Robot]

N'y aurait-il pas une quantification sur x que tu nous caches ? Ne serait-ce pas plutôt comme ça, ton histoire :
"Si pour tout vecteur x positif de somme des coordonnées 1 le vecteur Mx est positif et la somme de ses coordonnées est égale à 1, alors la matrice M est positive, et la somme des coefficients de chaque colonne est 1."
Ce qui est bien évident

[Lostounet]

Oui Robot, excuses.
C'est pour tout x, mais c'est plutôt la somme des coefficients de chaque ligne (je pense qu'on peut transposer?).

Oui c'est évident mais je ne le vois pas. C'est pour cela que je demande.

[Robot]

Tout dépend comment tu écris les choses : si les x sont des vecteurs colonnes et si on forme Mx, on parle des colonnes de M; si les x sont des vecteurs lignes et si on forme xM, on parle des lignes de M. Ne mélangerais-tu pas les deux formalismes ?

L'évidence : la j-ème colonne de la matrice M est l'image ... je te laisse compléter.

[Lostounet]

La 3-ème colonne de la matrice M (par exemple en dimension 3) est donnée par:
M*e_3

Du coup puisque pour tout vecteur probabilité, ce vecteur est aussi stochastique! Donc la somme de ses éléments vaut 1?

[Robot]

Alors, tes vecteurs de probabilité sont des vecteurs lignes ou des vecteurs colonnes ??

[Lostounet]

Cela semble en effet être une colonne.

Robot a toujours raison :ptdr:
Merci!

Mais j'ai un peu esquivé la question. Tu parlais de l'image d'un certain vecteur par une application? Ou..

[Robot]

Tu as répondu sur les colonnes de M. Alors, l'évidence te saute aux yeux ?

[Lostounet]

Oui cela saute aux yeux, vu comme ça.

Car l'oubli de la quantification "pour tout x" m'a couté cher. Mais je travaille avec un document en anglais, et les conventions ne sont pas les mêmes. Il y avait écrit "whenever x is a probability vector" je l'ai traduit en "pour x vecteur..." mais c'est bien pour tout !