Unicité de la partie reguliere du développement limité

[RaoulBoch]

Soit I un intervalle de ;) contenant au moins 2 réels.
Soit a;);) adhérent à I.
Soitf : I ;) ;) une fonction et soit n;);)
Supposons qu'il existe 2 familles (ai)0;)i;)n et (bi)0;)i;)n de réels de sorte que
f(x) = a0 + a1*(x-a) + ... + an*(x-a)^n + oa((x-a)^n)
et f(x) = b0 + b1*(x-a) + ... + bn*(x-a)^n + oa((x-a)^n)

Montrer par l'absurde que ;)i;)[[0,n]] ai=bi

Pouvez vous m'aider svp

[cesar]

si les deux familles sont distinctes, alors il existe au moins un ai different de bi
si l'on fait la difference f(x)-f(x) = a0-b0 + (a1-b1)(x-a) +....o((x-a)^n)
on a un polynome non nul égal à 0....
0 = (ai-bi)(x-a)^i + o((x-a)^n) (avec eventuellement d'autres termes en (aj-bj)(x-a)^j non nuls...
on a ai-bi = 0 car les (x-a)^j sont une famille libre...

[RaoulBoch]

ouais mais c'est pas ce qu'attend mon prof je pense étant donné que c'est un dm

peut on faire comme ca?

soit k le premier i tel que ai different de bi
P la pertie reguliere du dl des a et Q celui des b
P-Q=o((x-a)^n)
en 0 P-Q~(ak-bk)(x-a)^k
donc en 0 (ak-bk)(x-a)^k=o((x-a)^n)
donc quand x tend vers a
on a (ak-bk)(x-a)^(k-n) tend vers 0
don k strictement superieur a n ce qui est absurde car ;) i on a 0;)i;)n et donc aussi pour i = k.

[cesar]

donc en 0 (ak-bk)(x-a)^k=o((x-a)^n)
donc quand x tend vers a
on a (ak-bk)(x-a)^(k-n) tend vers 0
.

ce passage là craint un peu... o((x-a)^n) n'est pas obligatoirement un polynome, mais une fonction "petite" devant (x-a)^n sur le voisinage considéré...

[RaoulBoch]

en 0 (ak-bk)(x-a)^k=o((x-a)^n)

donc en 0 (ak-bk)(x-a)^k=;)(x)(x-a)^n avec ;)(x) une foncion qui ten vers 0 en 0

donc en divisant par (x-a)^n on a bien (ak-bk)(x-a)^(k-n) = ;)(x) donc tend vers 0

d'ailleur c'est pas en 0 mais en a qu'on a ca