Tu confonds encore un peu les choses. Il y a une règle pratique assez simple à retenir pour étudier la convergence uniforme d'une série de fonctions: on étudie la norme infinie
du terme général sur l'ensemble considéré.
- si ta norme infinie est un terme général d'une série convergente, il y a convergence normale, donc convergence uniforme
- si ta norme infinie ne tend pas vers 0, il n'y a pas convergence uniforme
-si ta norme infinie tend vers 0, mais que c'est le terme général d'une série divergente alors
tu ne peux pas conclure sans étudier le reste.
Tu dois alors étudier le reste (soit en utilisant le théorème des séries alternées spéciales si s'en est une, soit en majorant), et si la norme infinie de ce reste tend vers 0, alors il y a convergence uniforme; sinon, il n'y a pas CU.
Et tout cela découle plus ou moins des définitions.
Donc tu peux reprendre ton exercice, puisque en l'occurence
tend vers 0, mais c'est le terme général d'une série divergente.
Une autre petite remarque: En général lorsque tu as à étudier la convergence d'une série, tu peux déduire assez facilement s'il ya convergence normale ou pas. Mais en général l'énoncé est tel que ce n'est pas le cas. Pourquoi? Parce que quasiment tous les théorèmes sur les séries de fonctions font appel à la convergence uniforme.Or si tu as convergence normale facilement, tu as convergence uniforme facilement.
Mais en retenant la règle pratique que je t'ai donné, ainsi que les autres méthodes pour trouver la convergence uniforme, tu devrais venir à bout de pas mal d'exos.
Bonne continuation!
