Une inégalité sur des variables aléatoires

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acteon
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une inégalité sur des variables aléatoires

par acteon » 04 Mai 2024, 15:50

Bonjour,

je sèche sur la troisième question d'un exercice.

On considère une matrice aléatoire M carrée de taille n, dont les coefficients sont des variables aléatoires : on suppose qu’elles sont indépendantes et suivent toutes la même loi uniforme sur {-1,1}.
On considère un vecteur colonne X∈M_(n,1) (R) dont les coordonnées sont fixées (pas aléatoires) et tel que ‖X‖=1 (norme euclidienne) , on pose Y=MX.

1) montrer que si U est la loi uniforme sur {-1,1}. : E(e^t U )≤e^(t^2/2) : ok

2) montrer que pour tout i dans [|1,n|], P(|Y_i|≥λ)≤2e^(-λ^2/2): ok après étude de fonction etc...

3) en déduire que E(exp⁡(Yi^2/4) ) est majorée par une constante indépendante de n.
C'est là que je sèche. j'ai essayé d'utiliser le th de transfert de séparer selon que |Y_i|≥λ et |Y_i|<=λ mais j'obtiens alors
E(exp⁡(Yi^2/4) ) = S+T avec
S= somme sur les y tels que |y|>= λ des exp(y^2/4) P(|Y_i|=y)
T= somme sur les y tels que |y|< λ des exp(y^2/4) P(|Y_i|=y)
pour S j'ai envie de majorer exp(y^2/4) par une constante C pour me retrouver avec S<= C P(|Y_i|≥λ) <=C2e^(-λ^2/2) ce qui est bien . mais pour majorer y^2 , à part utiliser yi = somme des mij xj et donc |yi|<=somme des |xi| <= sqrt(n) (par cauchy schwartz), je vois pas trop
pour T je majorerai bien exp(y^2/4) par exp(λ^2/4) ce qui donne T<=exp(λ^2/4) . 1 mais ceci est grand quand lambda est grand.
ou éventuellement faire une distinction de cas selon la position de λ par rapport à 1?
Si qqn a une idée... merci!



 

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