[PSI]triplets

[Anonyme]

Bonjour,
je dois trouver tous les triplets x,y,z tq

z=2*x**2/(1+x**2)
y=2*z**2/(1+z**2)
x=2*z**2/(1+z**2)

J'ai essayé en introduisant des tangentes et j'arrive à un système
2 sin**2(a1)=tan(a2)
2 sin**2(a2)=tan(a3)
2 sin**2(a3)=tan(a1)
avec x= tan(a1) y=tan(a2)...

Je ne sais pas si je suis sur la bonne voie parce que après je suis coincé.
Merci de vos indications.
Stephane

[Anonyme]

stef a écrit
> je dois trouver tous les triplets x,y,z tq
> z=2*x**2/(1+x**2)
> y=2*z**2/(1+z**2)
> x=2*z**2/(1+z**2)

Je pense que tu voulais écrire
x = 2y² / (1+y²)
y = 2z² / (1+z²)
z = 2x² / (1+x²)

On remarque que le triplet x = y = z = 0 convient.

Supposons x # 0. Alors y # 0 et z # 0.
On peut alors écrire :
1/x = 1/(2y²) + 1/2
1/y = 1/(2z²) + 1/2
1/z = 1/(2x²) + 1/2

En posant
1/x = u
1/y = v
1/z = w

Il vient (*)
2u = v² + 1
2v = w² + 1
2w = u² + 1

Cela peut sécrire
2u = (v+1)² - 2v
2v = (w+1)² - 2w
2w = (u+1)² - 2u

Ce qui donne en ajoutant membre à membre :
4u + 4v + 4w = (v+1)² + (w+1)² + (u+1)²

Or les relations (*) peuvent également s'écrire :
4u = (v+1)² + (v-1)²
4v = (w+1)² + (w-1)²
4w = (u+1)² + (u-1)²

Soit en ajoutant membre à membre :
4u + 4v + 4w = (v+1)² + (w+1)² + (u+1)²
+ (v-1)² + (w-1)² + (u-1)²

On en déduit que
(v-1)² + (w-1)² + (u-1)² = 0

C'est la somme de 3 nombres positifs ou nuls,
donc (v-1)² = (w-1)² = (u-1)² = 0

D'où u = v = w = 0

D'où x = y = z = 1

Sauf erreur

Pierre

[Anonyme]

"Alfred Wallace" a écrit dans le message de news:
bj4ssi$hmq$1@news.mgn.net...
> stef a écrit[color=green]
> > je dois trouver tous les triplets x,y,z tq
> > z=2*x**2/(1+x**2)
> > y=2*z**2/(1+z**2)
> > x=2*z**2/(1+z**2)
>
> Je pense que tu voulais écrire
> x = 2y² / (1+y²)
> y = 2z² / (1+z²)
> z = 2x² / (1+x²)
>[/color]

(...)

> C'est la somme de 3 nombres positifs ou nuls,
> donc (v-1)² = (w-1)² = (u-1)² = 0
>
> D'où u = v = w = 0
>

Plutôt u = v = w = 1
C'est surement une erreur de recopie car le résultat ci-après est juste

> D'où x = y = z = 1
>
> Sauf erreur
>
> Pierre
>

RCV

[Anonyme]

Rincevent a écrit
> Plutôt u = v = w = 1
> C'est surement une erreur de recopie car
> le résultat ci-après est juste

Effectivement

Pierre

[Anonyme]

"stef" a écrit dans le message news:
bj4mb3$9m2$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour,
> je dois trouver tous les triplets x,y,z tq
>
> z=2*x**2/(1+x**2)
> y=2*z**2/(1+z**2)
> x=2*z**2/(1+z**2)
>
Je suppose qu'il faut lire x=2*y**2/(1+y**2).

La suite u_(n+1)=2u_n^2/(1+u_n^2) où u_0>0 et u_01
est strictement décroissante donc x=y=z=0 ou x=y=z=1.