Triplets Pythagoriciens

[Abilys38]

Bonjour,

Je bloque depuis une heure sur la deuxième partie de la question 3. Pourrais je avoir une (mini) indication ??
Merci !!!!!

[Ben314]

Salut,

Donc le produit XZ est un carré parfait et, comme X et Z sont premiers entre eux, c'est que ce sont eux même des carrés parfait.
Si ça te semble pas évident, écrit la décomposition en irréductible de X et celle de Z : il n'y a rien en commun vu qu'ils sont premier entre eux et, lorsque l'on fait le produit XZ, il faut que tout les exposants des nombres premiers soient pairs vu que XZ est un carré parfait.
Ca veut bien sûr dire qu'au départ, les exposant des nombres premier dans X et dans Z étaient déjà pairs, c'est à dire que X et Z étaient des carrés d'entier.

[Abilys38]

Bien vu :O
Exercice fini, mais, ce qui est frustrant, c'est que j'ai l'impression d'avoir été spectateur de la démonstration. Je n'ai pas vraiment compris quel raisonnement est utilisé pour nous emmener à la réponse final. Pourquoi ont ils posé X et Y de cette manière? Y avait il une autre manière d'arriver au résultat? etc.

[Ben314]

D'autre méthodes réellement différente, j'en connais pas et je ne sais pas s'il y en a (en tout cas des aussi simples).

Ensuite, l'Arithmétique (ainsi que la géométrie), c'est une branche des mathématiques un peu à part vu qu'on peut y énoncer des problèmes qui semblent extrêmement simples et dont la solution est extrêmement compliquée, même si (des fois) cette solution n'utilise que des outils simples : le problème c'est de trouver les bonnes idées...
Gauss, considéré par beaucoup comme l'un des plus grand mathématiciens de tout les temps, et qui a touché à quasiment toutes les matières scientifiques disait : "La Mathématique est la reine des sciences et l'Arithmétique est la reine des mathématiques."

Sinon, face à cet exercice particulier, le fait de commencer par se ramener à des entiers premiers entre eux, c'est quand même "très classique", c'est à dire que c'est souvent (mais pas toujours...) un bon point de départ face à une équation diophantienne (i.e. une équation dont on cherche les solutions entière).
Ensuite, de transformer l'équation pour faire apparaitre un produit (le passage de x²+y²=z² à y²=(z-x)(z+x) )c'est aussi "très classique" vu que l'un des outil de base de l'arithmétique c'est la divisibilité et que pour pouvoir utiliser cet outil, il faut évidement avoir affaire à des produits.
Le reste (les histoires de parité), c'est pas la partie la plus importante de la preuve, mais c'est aussi un truc assez classique qui correspond en fait à utiliser des congruences (ici des congruences modulo 2) qui sont aussi un des outil de base de l'arithmétique.

Tout ça pour dire que la preuve en question, quand on commence à avoir un peu de "bouteille" en arithmétique, elle est relativement simple et les différentes étapes semblent naturelles.
Par contre, ça déroute pas mal lorsque l'on débute du fait que les outils/méthodes employées pour résoudre des équations diophantiennes n'ont quasiment rien à voir avec celles utilisées pour résoudre des équations dans R (ou dans C).

Si tu veut chercher un exercice très semblable, tu peut essayer d'adapter la preuve avec 2x²+y²=z² (une solution simple est (2,1,3) ).

[Abilys38]

Merci pour toutes ces informations très intéressantes.
Je ne me trompais donc pas quand je pensais que l'arithmétique était pour le moment la partie de la MPSI que je trouvais la plus vaste et la moins évidente!! (Même si je me doute qu'on est qu'au tout début de la vraie arithmétique...

Dernière question: L'étape qui consiste à montrer que X et Y sont des carrés parfaits. En quoi était elle indispensable?

Merci en tout cas pour toutes les informations!!

[Ben314]

Pour moi, l'étape consistant à déduire de XY=Z² que X et Y sont eux même des carrés parfait, c'est la "pierre angulaire" de la démonstration vu qu'ensuite, tu n'as plus qu'à "remonter" pour en déduire l'expression générale de x, y et z.
Et le travail préliminaire consistant à diviser par le pgcd de x,y,z puis à diviser par 2, il a comme unique objectif de se ramener à du XY=Z² avec X et Y premier entre eux vu que c'est indispensable pour conclure.

Une façon de présenter l'exercice, c'est de dire que l'astuce, c'est d'écrire y²=(z-x)(z+x) à la place de x²+y²=z² puis que le "travail" consiste, partant de y²=(z-x)(z+x), à diviser convenablement les termes de gauche et de droite pour que le produit de droite soit composé de deux entiers premiers entre eux. L'objectif étant clairement et dès le début de pouvoir utiliser le fait qu'un produit d'entiers premiers entre eux est un carré ssi les deux termes du produit sont des carrés.
Intuitivement parlant, c'est comme les équations dans R (ou C) ou on chercher coute que coute à les écrire sous la forme AxB=0 pour utiliser le fait qu'un produit est nul ssi un des facteur est nul, ce qui permet de "casser" le problème en deux problèmes "plus petit".
Ici, c'est plus ou moins pareil (en plus compliqué..), on veut "casser" le AB=carré_parfait pour qu'il devienne A=carré_parfait ET B=carré_parfait, c'est à dire "casser" le problème en deux sous problèmes "plus petits".
Le problème, c'est que contrairement à R où le fait d'écrire une équation AxB=0 est quasi systématique, en arithmétique, le fait d'écrire AB=carré => A=carré et B=carré (si A et B sont premiers entre eux), c'est juste UNE méthode parmi d'autres...

[Abilys38]

Tu as parfaitement saisi mes questions et y a parfaitement répondu!!

Merci beaucoup !!
Je referai quand même l'exercice d'ici quelques jours avec tout ça en tête pour être un peu plus acteur, et non suivre bêtement les questions.