Tribu

par **mathelot** » 02 Mai 2008, 16:55

bjr,

je sèche sur l'exo suivant:
soit

continue et

où B est la tribu borélienne de l'espace d'arrivée R.
Montrer que

, tribu borélienne de l'espace de départ R

Le problème, je ne sais pas caractériser les élements de B , tribu borélienne
d'arrivée, de manière "constructive", le procédé de considérer
des intersections dénombrables d'unions dénombrables d'intersections dénombrables d'unions ...
s'arrête ?

merçi pour votre aide.

par **tize** » 02 Mai 2008, 17:05

Bonjour,
f est continue donc borélienne donc pour tout

donc

, c'est bien ce que tu voulais ou j'ai pas compris ta question ?

par **mathelot** » 02 Mai 2008, 17:20

oui, je voudrai une piste pour redémontrer ce résultat.

A est clairement une tribu. Elle contient certains ouverts de R
(ceux qui sont des images réciproques d'ouverts) mais pas tous,
f n'étant pas nécéssairement ouverte,

je ne vois pas :hum:

par **tize** » 02 Mai 2008, 17:36

Je n'ai pas dû te comprendre...tu cherches bien à montrer que

, non ?

mathelot a écrit:f n'étant pas nécéssairement ouverte,

Pourquoi aurait on besoin de f ouverte ?

par **mathelot** » 02 Mai 2008, 17:49

tize a écrit:f est continue donc pour tout

je voudrai juste une piste pour (re)démontrer ce résultat. :doh:

par **tize** » 02 Mai 2008, 19:07

Ah ok...
On sait que pour tout ouvert

,

est un ouvert et donc un borélien.
Ensuite il faut utiliser le lemme de transport :
Si

où

alors

par **mathelot** » 02 Mai 2008, 19:23

merci beaucoup.

point encore obscur: peut-on caractériser un évènement d'une tribu
borélienne comme le résultat d'un nombre fini des 3 opérations:

- intersection dénombrable
- réunion dénombrable
- passage au complémentaire

initiées à partir des ouverts ?

par **tize** » 02 Mai 2008, 20:58

Apparemment non, je te conseille de lire http://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_bor%C3%A9lienne et plus particulièrement la partie discussion : http://fr.wikipedia.org/wiki/Discuter:Tribu_bor%C3%A9lienne

par **mathelot** » 02 Mai 2008, 21:15

bon , je "comprend" très vaguement ce qu'il se passe, il faut faire appel
à une théorie des ensembles non triviale (ordinaux,itération transfinie..) pour indexer la suite des opérations à faire pour saturer la tribu des boréliens,
car les classes intermédiaires que l'on obtient ne sont pas des tribus.

Je vais regarder la démo du lemme de transport, je te redemanderai de l'aide éventuellement,

par **tize** » 02 Mai 2008, 21:52

Je suis en train de rédiger une page au sujet du lemme de transport sur la Wikipédia ici mais elle n'est pas encore terminée.

par **tize** » 02 Mai 2008, 23:25

Voilà, c'est fait...si vous voulez modifier ne vous gênez pas....
Lemme de transport

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