Tribu

[Trident]

Bonjour, j'ai une petite question à propos d'un exercice dont l'énoncé est :

On considère un ensemble et deux ensemble C et S de parties de . On suppose que C est stable par intersection finie et que S est un -système, c'est à dire qu'il vérifie les deux propriétés :

- Si A est dans S et B est dans S et si A inclus dans B, alors B \ A est dans S (la "couronne" est donc aussi dans S).

- Si est une suite croissante d'éléments de S, alors est dans S.
On suppose enfin que C est dans S et que appartient à S.

Il faut montrer qu'il existe un plus petit-système noté S' qui contient C et .

La correction propose quelque chose de simple. Elle dit que l'ensemble des parties de est un -système et donc que l'ensemble des système est non vide. Donc le plus petit est l'intersection de tous les système qui contiennent C (et ils disent que l'intersection est encore un système.

Mais moi, j'ai réussi à expliciter directement ce plus petit système qui contient C, j'ai dit que c'était justement la tribu engendré par C. Je voudrais savoir si c'est correct.

Je note o = tribu engendré par C.

o est un -système :

- Si A est dans o et si B est dans o, alors est dans o (o est stable par passage au complémentaire et par intersection)

- Si Si est une suite d'éléments de o, alors est dans o par stabilité de l'union dans une tribu. C'est donc vrai en particulier pour les suites croissantes.

De plus, o est le plus petit. Supposons qu'il existe un -système S''qui contient C encore plus petit. En fait, faut montrer que c'est o.

Donc si A est un élément de o, faut montrer qu'il est dans S'' aussi.

Si A est dans o (tribu engendrée par C), alors A est là "à cause" des éléments de C. Donc par exemple, y'a plusieurs cas. Peut être que A s'écrit comme complémentaire d'un élément de C.

- 1 er cas : Il existe B dans C tel que

Mais car

- 2ème cas : Il existe une suite d'éléments de C tel que

Posons de sorte que est croissante et
Donc . Reste à montrer que les sont dans S''.

On note que . Si on montre que est dans S'', on a fini.

et les sont dans S'' car est dans C donc l'intersection aussi est dans C donc est dans S''.

[Doraki]

Tu as l'air de croire que la tribu engendrée par X c'est {réunions dénombrables d'éléments de X} u {complémentaires d'éléments de X}.

Est-ce que tu crois aussi que le sous-groupe de (R,+) engendré par 1 et 3 c'est {-1;-3;1;3;4} ?


Quand on veut décrire explicitement un truc engendré par X (plus petit ensemble contenant X qui soit stable par telle ou telle opération), généralement on construit une suite (Xn) telle que
X0 = X, et X(n+1) = {gens qui s'obtiennent par application d'une opération sur des gens de Xn}.

C'est ce qu'on fait par exemple dans le cas des sous-groupes, et à la fin on prend la réunion des Xn, qui est le sous-groupe engendré par X.

Mais dans le cas d'une tribu (ou d'un ;)-système), c'est même pas suffisant parceque ptetre qu'on a une suite croissante (xn) où xn est dans Xn, et alors rien ne dit que la réunion des xn est dans un Xm (donc dans la réunion des Xn).
Pour une tribu (ou un ;)-système), il faut faire une induction transfinie sur le plus petit ordinal de cardinal aleph-1 (au lieu d'une induction sur N) (si on tient vraiment à avoir une description "explicite")

L'intersection de tous les ;)-systèmes contenant C, c'est quand même vachement plus rapide pour définir le plus petit ;)-système contenant C.

[Trident]

Tu as l'air de croire que la tribu engendrée par X c'est {réunions dénombrables d'éléments de X} u {complémentaires d'éléments de X}.

Ben la tribu engendrée par X, pour la construire, on met Omega puis le vide, puis tous les éléments de X puis on prend tous les complémentaires des éléments de X, puis toutes leurs réunion.
Ensuite, on aura encore plus de gens et on prendra leur complémentaire puis les fera la réunion etc jusqu'à qu'on retombe sur des éléments qu'on a déjà créés.

Mais si je prend quelqu'un dans la tribu engendrée par X, alors soit il sera directement complémentaire d'un truc de X ou directement l'union d'un truc de X ou bien par exemple le complémentaire d'une réunion. Mais si c'est le complémentaire d'une réunion, ça suffit d'avoir montré ce que j'ai montré ?

Mais je sais bien que c'est plus simple de faire l'intersection de tous les lambda système qui contiennent C mais je voulais savoir si ce plus petit lambda système,c'était en fait la tribu engendrée par C ? Est-ce vrai ?

[Doraki]

Mais si je prend quelqu'un dans la tribu engendrée par X, alors soit il sera directement complémentaire d'un truc de X ou directement l'union d'un truc de X ou bien par exemple le complémentaire d'une réunion. Mais si c'est le complémentaire d'une réunion, ça suffit d'avoir montré ce que j'ai montré ?

Non ça c'est que des gens que tu obtiens en 2 étapes.
Il y a des gens qui demandent 3 étapes. Voire 4. Voire une infinité. Voire encore plus.

Mais je sais bien que c'est plus simple de faire l'intersection de tous les lambda système qui contiennent C mais je voulais savoir si ce plus petit lambda système,c'était en fait la tribu engendrée par C ? Est-ce vrai ?

Le plus petit -système n'est pas forcément une tribu, ptetre qu'il est pas stable par réunion finie (ni par réunion dénombrable quelconque).

[Trident]

Ok, merci, dommage, tout s'enchainé bien.

[Doraki]

Tu n'as pas expliqué pourquoi l'intersection des ;)-Bk est dans S" (ni dans C)

Aussi, le résultat auquel tu pensais (que la plus petit ;)-système contenant C est la plus petite tribu contenant C) est vrai et s'appelle le lemme de classes monotones. Dont la démonstration est un peu plus compliquée que ta tentative.