Le trajet le plus court entre deux points

[Apachoid]

Bonjour à toutes et à tous.

Je suis nouveau sur ce forum, et je viens vous demander humblement conseil sur un problème mathématique qui requiert un niveau que je n'ai manifestement pas. (J'ai un niveau bac S bio en maths :we: ) Ce problème s'est imposé à moi dans une de mes lectures : "La critique de la raison pure" de Kant. Je vais essayer d'être aussi précis que possible. Voilà la question, telle qu'elle pourrait être posée :

"Prouvez-moi mathématiquement que la droite est le chemin le plus court entre deux points."

Je trouve ce problème extrêmement intéressant d'un point de vue ontologique. En effet, s'il apparait possible de démontrer cette proposition de manière mathématique, se pose tout de même la question de -l'utilité- de la démontrer. Mieux qu'une interprétation, je vais citer Kant :

"Dans cette proposition, le concept de ce qui est droit ne contient aucune information de grandeur, mais seulement une qualité. Le concept de ce qui est le plus court est donc entièrement surajouté, et ne peut être par aucune analyse tiré du concept de la ligne droite. Il faut donc s'aider ici de l'intuition, par l'intermédiaire de laquelle seulement la synthèse est possible."

Ma problématique, après avoir trituré mon esprit un moment et embêté mon entourage, passe par plusieurs tentatives de décortiquer le problème.

1 - Elle passe par les démonstrations mathématiques suivantes :

L'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est toujours le plus court. Par une simple démonstration géométrique, il apparait évident que la droite est le chemin le plus court entre deux points. En fait, et c'est là mon premier gros doute, je pense que cette démonstration prouve juste que la droite est un chemin "plus court" qu'un autre, mais pas qu'il est effectivement "le plus court". Ce qui m'amène à penser que j'ai éventuellement raison, c'est que j'ai consulté une démonstration de ce problème :

( http://www.math.univ-toulouse.fr/~lassere/pdf/longueurcourbe.pdf 2eme exercice ).

Et en profane des mathématiques que je suis, je constate juste que cette démonstration est bien plus complexe que celle qui utilise l'inégalité triangulaire. En toute logique, et de façon familière, pourquoi se farcir une page d'intégrales lorsque l'utilisation d'une simple règle géométrique peut "prouver" cette proposition ? Mon intuition de profane est alors que la démonstration par l'inégalité triangulaire utilise un axiome, au contraire de la deuxième, qui démontre ce qui pourrait se révéler être en fait un postulat.

2 - Elle passe ensuite entre la différence fondamentale entre "Postulat" et "Axiome".

J'ai ici un problème de définition. En effet, la définition du postulat varie suivant les sources. Pour les uns il est indémontrable par définition. Pour les autres, il se différencie de l'axiome par le simple et unique fait qu'il est effectivement démontrable, en substance. L'utilisation que j'ai de ce mot dans mon point 1 peut donc paraitre erronée, j'aimerais en avoir une définition précise de votre part, même si la réponse ne change pas fondamentalement la problématique générale.

3 - La finalité de ma problématique concerne l'intuition.

Si je simplifie volontairement : la proposition "la droite est le chemin le plus court entre deux points." est-elle mathématique, ou intuitive ? Est-ce une "connaissance synthétique à priori", ou sont-ce les mathématiques qui justifient une telle assertion ?


----

PS : C'est encore très mal exprimé, j'ai beaucoup de mal à exposer ma problématique. Elle est en réalité plus complexe que ça, mais j'en ai expliqué les très grandes lignes. J'apprécierais toute réponse, évidemment; toute correction; mais aussi toute appréciation générale de cette problématique "Kantienne" de votre part. J'ai beaucoup de mal à saisir "les contours" d'un tel raisonnement.

[Pythales]

Bonjour à toutes et à tous.

Je suis nouveau sur ce forum, et je viens vous demander humblement conseil sur un problème mathématique qui requiert un niveau que je n'ai manifestement pas. (J'ai un niveau bac S bio en maths :we: ) Ce problème s'est imposé à moi dans une de mes lectures : "La critique de la raison pure" de Kant. Je vais essayer d'être aussi précis que possible. Voilà la question, telle qu'elle pourrait être posée :

"Prouvez-moi mathématiquement que la droite est le chemin le plus court entre deux points."

Je trouve ce problème extrêmement intéressant d'un point de vue ontologique. En effet, s'il apparait possible de démontrer cette proposition de manière mathématique, se pose tout de même la question de -l'utilité- de la démontrer. Mieux qu'une interprétation, je vais citer Kant :

"Dans cette proposition, le concept de ce qui est droit ne contient aucune information de grandeur, mais seulement une qualité. Le concept de ce qui est le plus court est donc entièrement surajouté, et ne peut être par aucune analyse tiré du concept de la ligne droite. Il faut donc s'aider ici de l'intuition, par l'intermédiaire de laquelle seulement la synthèse est possible."

Ma problématique, après avoir trituré mon esprit un moment et embêté mon entourage, passe par plusieurs tentatives de décortiquer le problème.

1 - Elle passe par les démonstrations mathématiques suivantes :

L'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est toujours le plus court. Par une simple démonstration géométrique, il apparait évident que la droite est le chemin le plus court entre deux points. En fait, et c'est là mon premier gros doute, je pense que cette démonstration prouve juste que la droite est un chemin "plus court" qu'un autre, mais pas qu'il est effectivement "le plus court". Ce qui m'amène à penser que j'ai éventuellement raison, c'est que j'ai consulté une démonstration de ce problème :

( http://www.math.univ-toulouse.fr/~lassere/pdf/longueurcourbe.pdf 2eme exercice ).

Et en profane des mathématiques que je suis, je constate juste que cette démonstration est bien plus complexe que celle qui utilise l'inégalité triangulaire. En toute logique, et de façon familière, pourquoi se farcir une page d'intégrales lorsque l'utilisation d'une simple règle géométrique peut "prouver" cette proposition ? Mon intuition de profane est alors que la démonstration par l'inégalité triangulaire utilise un axiome, au contraire de la deuxième, qui démontre ce qui pourrait se révéler être en fait un postulat.

2 - Elle passe ensuite entre la différence fondamentale entre "Postulat" et "Axiome".

J'ai ici un problème de définition. En effet, la définition du postulat varie suivant les sources. Pour les uns il est indémontrable par définition. Pour les autres, il se différencie de l'axiome par le simple et unique fait qu'il est effectivement démontrable, en substance. L'utilisation que j'ai de ce mot dans mon point 1 peut donc paraitre erronée, j'aimerais en avoir une définition précise de votre part, même si la réponse ne change pas fondamentalement la problématique générale.

3 - La finalité de ma problématique concerne l'intuition.

Si je simplifie volontairement : la proposition "la droite est le chemin le plus court entre deux points." est-elle mathématique, ou intuitive ? Est-ce une "connaissance synthétique à priori", ou sont-ce les mathématiques qui justifient une telle assertion ?


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PS : C'est encore très mal exprimé, j'ai beaucoup de mal à exposer ma problématique. Elle est en réalité plus complexe que ça, mais j'en ai expliqué les très grandes lignes. J'apprécierais toute réponse, évidemment; toute correction; mais aussi toute appréciation générale de cette problématique "Kantienne" de votre part. J'ai beaucoup de mal à saisir "les contours" d'un tel raisonnement.

"La ligne droite est le plus court chemin" n'est valable que dans un espace euclidien. Elle en est l'un des axiomes fondamentaux, comme "par un point donné, on ne peut mener qu'une parallèle à une droite".

Il existe d'autres espaces où ces axiomes sont pris en défaut :

Dans un espace de Rieman, le plus court chemin est un arc de cercle.
Dans un espace de Lobatchevski, le plus court chemin est une tractrice.
Dans ces 2 espaces, d'un point on peut mener plusieurs parallèles à une "droite".

Ce ne sont que 2 exemples parmi d'autres

[adrien69]

C'est le genre de question qu'Olivier Druet adore poser à l'oral d'admission de l'ENS...
Tout d'abord, qu'appelles-tu distance ? Celle visuelle, ou une autre ?

[Alisée]

Les chemins et les distances varient en géométrie non euclidienne...

[Apachoid]

"La ligne droite est le plus court chemin" n'est valable que dans un espace euclidien. Elle en est l'un des axiomes fondamentaux, comme "par un point donné, on ne peut mener qu'une parallèle à une droite".

Oui, mais j'ai déjà un problème assez "sémantique" qui conduit à un problème plus profond. Tu parles d'un axiome. Je comprend tout à fait. Mais j'aime à penser que c'est ici plutôt un postulat. Car ce que je sais de l'axiome c'est qu'il est indémontrable. Ici, même s'il se résout aisément par intuition, notre problème est démontrable. Il s'agit donc plus d'un postulat selon moi.

Et finalement on y est, cette proposition est-elle si indéniable qu'il s'agirait d'un axiome ? Ou une notion qui a -besoin- d'une démonstration pour accroitre sa validité, ce qui la qualifierait plutôt de postulat ?

C'est le genre de question qu'Olivier Druet adore poser à l'oral d'admission de l'ENS...
Tout d'abord, qu'appelles-tu distance ? Celle visuelle, ou une autre ?

Ca doit chauffer pour certains ^^ Mais par distance, j'entendais "toute" distance, en fait. Du moins la distance telle que l'abstraction pure permet de nous la représenter.

[Sourire_banane]

Déjà pour parler de distance faut parler d'un espace métrique ou au moins où on peut définir un produit scalaire non ?

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Dans le plan, c'est à dire en dehors de toute considération que j'appellerais "compliquée" on distingue la distance Euclidienne et la distance de Manhattan (entre autres).
Dans l'espace, compte tenu de la pesanteur, la distance la plus courte entre deux points, en fait la plus rapide, est la cycloïde.
Sur la terre la distance entre 2 points dépend du choix du mode de locomotion employé.
Donc, en gros, cette question, telle que posée, n'admet pas de réponse, ou admet un grand nombre de réponses.
[EDIT]
Il y a un autre aspect que je voudrais évoquer, c'est la distance "en montagne"., c'est à dire la longueur d'un cheminement d'un point à un autre en traversant des montagnes, c'est à dire, des montées et des descentes. Là c'est encore autre-chose.

[Apachoid]

Je remarque en fait que ma problématique est peut-être un peu "trop philosophique". Elle n'est aussi pas complètement claire car complexe à la base, et j'ai de surcroit du mal à l'exprimer..

[Sourire_banane]

Pour tout te dire il existe une infinité de normes. Peut-on dire qu'il existe donc une infinité de distances ?

[Apachoid]

Pour tout te dire il existe une infinité de normes. Peut-on dire qu'il existe donc une infinité de distances ?

Oui, on peut me le dire ^^ Mais ce n'est pas l'exact objet de mon sujet.

Si je voulais simplifier un maximum, je dirais : Est-ce que cette proposition est un axiome, ou un postulat ?

[adrien69]

Bon essayons d'étayer un peu notre propos. Que sont les mathématiques du point de vue Kantien ?
C'est le raisonnement par construction de concepts. Et comment construit-on un concept ? Par l'intuition (on pourrait en discuter mais c'est Kantien), il faut entendre par là "modélisation d'un phénomène existant".
Maintenant qu'on a ça, un peu (tout petit peu) d'histoire des mathématiques mêlée à de l'histoire de la philosophie. Critique de la raison pure : 1781. Avènement du calcul infinitésimal (dérivées, etc), en tant que méthode non décriée : 1820. Bégaiements du calcul variationnel (possibilité de prouver ledit "plus petit") : vers 1750, mais avec un essor à partir de 1786.
Difficile pour Kant de voir comment une telle théorie (récente donc pas encore défrichée) pouvait s'appliquer à la géométrie millénaire d'Euclide et modéliser le concept de droite et de plus court chemin.
Donc postulat 1 : on peut modéliser une droite par un chemin f(t)=ta+(1-t)b où a et b sont des points de R².
Postulat 2 : la longueur d'un segment telle qu'on la conçoit se modélise/mesure par
Postulat 3 : la notion mathématique de tangente modélise ce que l'on conçoit comme étant une tangente.
Postulat 4 : l'intégrale mesure/modélise l'aire sous la courbe.
Le reste de la démonstration repose sur des axiomes.

Voilà donc l'intérêt de démontrer un tel résultat : voir sur quels axiomes, et sur quelles modélisations il repose.

[Sourire_banane]

Oui, on peut me le dire ^^ Mais ce n'est pas l'exact objet de mon sujet.

Si je voulais simplifier un maximum, je dirais : Est-ce que cette proposition est un axiome, ou un postulat ?

Oui mais je pose cette question pour moi.

[emdro]

Et en profane des mathématiques que je suis, je constate juste que cette démonstration est bien plus complexe que celle qui utilise l'inégalité triangulaire. En toute logique, et de façon familière, pourquoi se farcir une page d'intégrales lorsque l'utilisation d'une simple règle géométrique peut "prouver" cette proposition ?

Bonjour,

je peux tenter de répondre à cette question :
l'inégalité triangulaire affirme que quels que soient les points A, B, C, on a .

Comme tu as dit, elle traduit le fait que le chemin suivant le segment [AB] est plus court que le chemin constitué de deux segments : [AB] puis [BC].

On peut facilement, par récurrence, généraliser ce résultat à n'importe quel chemin constituée d'une ligne brisée reliant A à B.

Ton inégalité (à peine généralisée) montre donc qu'une ligne brisée reliant deux points est plus longue que la ligne droite. De là à généraliser à n'importe quelle courbe, il y a du travail ! Et c'est l'objet de la démonstration faite dans le document "longueur de courbe" que tu as joint.

A mon avis, il faut prendre garde au langage. Lorsque tu dis :

L'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est toujours le plus court.

c'est à la fois vrai (en ce qui concerne deux segments), et faux (en ce qui concerne une courbe).

De même, les notions de droite et de distance sont intuitives. Mais avant de pouvoir travailler proprement en mathématiques, il convient de savoir dans quel système axiomatique on se place, et comment sont définies précisément ces notions. Et comment les idées s'enchainent les unes aux autres.

A cet égard, je m'interroge sur ta phrase :

Par une simple démonstration géométrique, il apparait évident que la droite est le chemin le plus court entre deux points.

[40tude]

Un peu de lecture si cela vous tente
https://www.40tude.fr/blog/chemin-le-pl ... -2-points/
Cordialement, Philippe