M3(C) et M3(R)

[mehdi-128]

Bonsoir,

J'ai des propriétés d'une matrice B de M3(C) qui est d'ordre fini.

Je voulais savoir si je peux utiliser ces mêmes propriétés pour une matrice A de M3(R) également d'ordre fini.

A ton M3(R) c M3(C) ?

Merci

[Mimosa]

Bien sur que .

Je ne comprends pas ta première question. S'il n'y a aucun rapport entre et on ne peut rien déduire des propriétés de l'une pour l'autre!

[pascal16]

C est algébriquement clos, le polynôme caractéristique y est donc scindé. Les vap peuvent être imaginaires même si les coefficients de la matrice sont réels. Donc on ne peut pas tout transposer comme ça.

[mehdi-128]

Bien sur que .

Je ne comprends pas ta première question. S'il n'y a aucun rapport entre et on ne peut rien déduire des propriétés de l'une pour l'autre!

Dans le sujet de capes de maths 2014 sujet 2, on démontrer que toute matrice de Mn(C) d'ordre fini a pour valeur propres des racines b ièmes de l'unité avec b l'ordre de la matrice et qu'elle est diagonalisable dans Mn(C).

Dans une autre partie, on introduit une matrice A de M3(R) d'ordre finie et on utilise les propriétés démontrés pour toute matrice d'ordre finie dans Mn(C).

C'est ça qui me posait problème je me demande pourquoi on a le droit de faire ça

[pascal16]

il me semble que la trame de l’exercice est :
la matrice est d'ordre fini (donc forcément inversible).
dans C ses vap sont des racines nième de l'unité(et diagonalisable).
dans R l'odre de la matrice n'est pas le même, mais elle est forcément d'ordre finie, on prend le ppcm des racines nièmes de l'unité dans C et on a son ordre dans R.

un corrrigé de l'épreuve :
https://www.maths-france.fr/Capes/Capes_2014_M2_Corrige.pdf

[mehdi-128]

il me semble que la trame de l’exercice est :
la matrice est d'ordre fini (donc forcément inversible).
dans C ses vap sont des racines nième de l'unité(et diagonalisable).
dans R l'odre de la matrice n'est pas le même, mais elle est forcément d'ordre finie, on prend le ppcm des racines nièmes de l'unité dans C et on a son ordre dans R.

un corrrigé de l'épreuve :
https://www.maths-france.fr/Capes/Capes_2014_M2_Corrige.pdf

Merci justement dans le corrigé je comprends pas d'où ça sort à la première question de la partie B : "A de M3(R) est d'ordre fini d'après la question 2b) de la partie A les valeurs propres de A sont des racines de l'unité".
Or la partie A démontrer le résultat pour des matrices de Mn(C) et pas Mn(R) !

Ai-je loupé un truc ?

[pascal16]

Je ne suis pas assez pro dans le domaine.
il me semble que ce qu'il faut comprendre c'est qu'une matrice d'ordre fini à coefficients réels est diagonalisable dans Mn(C) car ses vap sont des racines nièmes de l'unité.

[Lostounet]

C est algébriquement clos, le polynôme caractéristique y est donc scindé.... Donc on ne peut pas tout transposer comme ça.

Et c'est même vraiment difficile!
Je me souviens de ma discussion ici avec le grand BenPi:
superieur/similitudes-frobenius-t181083.html

Pour transposer un résultat (en apparence débile) entre surcorps K et un corps k ... et c'est vraiment hardcore...

[mehdi-128]

DU coup il sort d'où le résultat de la correction Partie B question 1 ?

"Puisque A est d'ordre fini d'après la question 2b de la partie A, les valeurs propres de A sont des racines de l'unité".

http://www.maths-france.fr/Capes/Capes_ ... orrige.pdf