Similitudes et Frobenius

[Lostounet]

Bonjour,

On se place dans ev dimension 3. Je dois prouver que si on a deux endos ayant même polynômes caractéristique et minimal , alors ils sont semblables (pas l'autre implication ).

J'ai donc pensé à la décomposition de Frobenius en matrices compagnons "par blocs"... mais cela reste un peu flou pourquoi en dimension supérieure à 3 cela ne peut pas marcher...? Je pense que c'est une histoire de polynômes scindés ou autre mais on ne me donne pas le corps sous-jacent pour savoir s'il est algébriquement clos ou pas?

[Ben314]

Salut,
Exercice : Déterminer le polynôme caractéristique et minimal des matrices suivantes :
;
Sont-elles semblables ? (justifier votre réponse)

[Archytas]

Leur polynômes minimaux sont différents, non? A²=0 alors que B² non.

[Ben314]

Je sais pas si tu as pris la bonne version : au "premier jet", je m'était gouré pour la matrice B...

Sinon, concernant le problème de la dimension 3, perso j'utiliserais plutôt la décomposition de Jordan, quite à me placer dans une clôture algébrique du corps de base.
Le tout est ensuite de justifier proprement que, si deux matrices et de sont semblables dans où est un surcorps de alors elle le sont aussi dans .

[Lostounet]

Ok je vois qu'avec ce contre-exemple c'est faux (elles sont non semblables car elles ont déjà pas le même rang).
A^2 = B^2 = 0

P(X) = X^4
Mais je me disais qu'il y avait une raison profonde sur les polynômes (degré <3, degrés >3).

Par contre pour l'histoire de surcorps K de k... Le seul truc lié dont je me souviens est que si deux matrices réelles sont semblables sur C alors elles sont semblables dans R. Mais j'ai oublié la preuve. Et en plus je ne sais pas si cela peut se faire (en adaptant la preuve?) dans des corps k et K quelconques.

[Ben314]

A froid, je vois pas trop comment faire sans passer par la forme de Jordan...
Donc regarde déjà si tu arrive à comprendre pourquoi ça marche en dimension 3 sur un corps algébriquement clos (et pourquoi ça marche pas au delà).

[Lostounet]

En tout cas si on est sur un corps algébriquement clos, on peut appliquer le théorème de Jordan et faire la réduction en blocs pour ensuite regarder les multiplicités des vp (pour voir les multiplicités dans le polynôme caractéristique)
Et je pourrais le scinder ensuite pour voir ...?

[zygomatique]

salut

juste une idée ...

de toute façon si on travaille sur R^3 le polynome caractéristique est de degré 3 et on a donc (au moins) une valeur propre réelle commune au deux endomorphismes ...

[Ben314]

Normalement, tu as du voir que la forme de Jordan est unique et que deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont même forme de Jordan.
Donc là, tout ce qu'on te demande, c'est de comprendre comment on "lit" le polynôme caractéristique et le polynôme minimal directement sur la forme de Jordan de façon à pouvoir répondre à la question :
Même poly. car. et même poly. min ? => ? même forme de Jordan.

Exercice 1 : Cette matrice (de Jordan) :

C'est quoi son polynôme caractéristique ? minimal ?
Quelles sont les matrices de Jordan ayant un tel polynôme caractéristique et un tel polynôme minimal ?

Exercice 2 : Quelles sont toutes les matrices de Jordan dont le polynôme caractéristique et le polynôme minimal est .
Qu'en déduit-on concernant deux matrices ayant ce polynôme caractéristique et ce polynôme minimal ?

Exercice 3 : Si deux matrices ont toute les deux comme polynôme caractéristique et toutes les deux comme polynôme minimal , sont-elles forcément semblables ?

Exercice 4 : Montrer que si deux matrices de Jordan 3x3 ont même polynôme caractéristique et même polynôme minimal, c'est que c'est les deux mêmes.

[Lostounet]

Salut Ben,
Tout d'abord merci beaucoup de me décortiquer un peu le travail. Juste une question par contre avant de répondre à chacun des exercices que tu proposes: dans mon cours il y a la notion "d'invariants de similitude" qui me semble liée à ce qu'on fait (mais que je ne comprends pas encore).

Ici les invariants c'est les polynômes?

[Ben314]

Je connaissait pas le terme, mais là (<-lien) ils définissent effectivement les "invariants de similitude" comme tout les trucs qu'on peut associer à une matrice et qui sont invariants par changement de base.
Donc le polynôme caractéristique et la polynôme minimal sont effectivement des "invariants de similitude".
La forme de Jordan aussi, sauf que elle, c'est un invariant "optimal" vu que deux matrices sont semblables ssi elles ont même forme de Jordan. Par contre LE inconvénient, c'est qu'il faut être dans un corps algébriquement clos pour qu'elle existe systématiquement.

P.S. :
Sinon, sans aller chercher sur Wiki, j'aurais pas dit que ça désignait un truc pareil les "invariants de similitude" vu que j'emploie jamais ce terme là (1) et que je vois pas bien le rapport avec les similitudes (<- lien) que je connais (en géométrie).
Mais je viens de voir qu'en fait, il semblerais que la notion de matrice semblables soit parfois appelée "notion de similitude de matrices" (par exemple là).
Perso, j'aurais sans doute plutôt dit "notion de semblablitude", mais bon, c'est vrai que ça sonne pas terrible...
Mais d'un autre coté, en Français, sauf erreur, il y a bien deux mots différents, à savoir "semblable" et "similaire" (je sais même pas si c'est exactement pareil en Français ou pas...(2)) et à froid, j'aurais parié que, toujours en Français, "similitude", ça se rapportait à "similaire" et pas à "semblable".

Enfin, bref, c'est comme d'hab., le vocabulaire, ben c'est... que du vocabulaire...

(1) Je pense que perso., j'aurais écrit "invariant à changement de base près" ou un truc du même genre...

(2) Après recherche, ben il semblerait que non : c'est pas la même chose en Français (sauf que "similaire", ça vient du latin "similis" qui veut dire... "semblable"....)

[Lostounet]

Ben! Je pense que je commence à visualiser où tu veux en venir..
C'est comme un puzzle! Puisque dans le polynome minimal la multiplicité correspond à la taille du plus gros bloc de Jordan (correspondant à la valeur propre).. il faut que je case dans une grosse matrice les blocs de jordan de sorte à respecter les contraintes de tes polynômes. Peut-être qu'en dimension 3 cela est assez contraignant pour ne pas laisser de "degrés de liberté" pour les blocs.

Je posterai ma réponse bientôt. À supposer que j'y arrive, il restera le problème de la clôture algébrique (rien ne dit que le corps l'est )

[Lostounet]

Exercice 1 : Cette matrice (de Jordan) :

C'est quoi son polynôme caractéristique ? minimal ?
Quelles sont les matrices de Jordan ayant un tel polynôme caractéristique et un tel polynôme minimal ?

Minimal:

Pour avoir d'autres matrices avec le même polynôme caractéristique, on garde les mêmes éléments diagonaux. Mais vu qu'il n'y a que le bloc 3x3 de lambda et le bloc de mu 2x2 qui importent pour le minimal, on peut:
* changer le 1 en 0 dans le bloc lambda de taille 2x2
* échanger la position des blocs 2x2 de lambda et mu

Exercice 2 : Quelles sont toutes les matrices de Jordan dont le polynôme caractéristique et le polynôme minimal est ...
Qu'en déduit-on concernant deux matrices ayant ce polynôme caractéristique et ce polynôme minimal ?

Je vois pas comment on peut en fabriquer une autre (à part en "échangeant des blocs"... c'est assez restrictif

[Ben314]

Oui, c'est ça, modulo que "d'échanger les blocs", on va dire que "ça compte pour du beurre".
Donc dans le premier exo., des matrices ayant ces polynômes là comme polynôme minimal et caractéristique ne sont pas forcément semblable, alors que dans le deuxième exo., elles sont forcément semblables.

[Lostounet]

Pour l'exo 3, il me semble que les matrices ne sont pas forcément semblables:
On peut avoir deux blocs de Jordan pour lambda de taille 2x2, comme on peut n'avoir qu'un seul (et deux blocs 1x1 pour lambda).

Par contre pour le dernier exercice 4, j'arrive à visualiser sur des cas particuliers mais la rédaction rigoureuse ne me parait pas simple... si on prend le polynome caractéristique de degré 3, il s'écrit:

1)* Comme produit de trois facteurs de degré 1 à racines toutes distinctes (parce que K est algébriquement clos on peut scinder les choses)
2)soit comme un facteur du premier degré et d'un facteur avec une racine double
3) soit comme un facteur racine triple

si on fixe les éléments diagonaux (donnée du caractéristique) et si l'on fixe la taille des blocs (1x1, (2x2 + 1x1) ou 3x3) on détermine entièrement la matrice A (en tout cas à permutation de blocs près qui doit pouvoir se traduire matriciellement?)

Par contre je ne sais pas comment l'expliquer rigoureusement (ou si j'ai compris?) et il manque toujours une partie sur le fait de toujours pouvoir se ramener à K clos

[Ben314]

La permutation des blocs, on s'en fout vu que c'est juste un changement de base (et même uniquement un changement de l'ordre des vecteurs de la même base). Or, justement, on se demande si les matrices sont les même ou pas à changement de base près.

Sinon, pour chacune des valeurs propres (donc des racines des deux polynômes vu qu'ils ont forcément les mêmes), l'ordre de multiplicité N dans le polynôme caractéristique te donne la somme des tailles des différents blocs correspondant à cette valeur propre dans la matrice de Jordan alors que l'ordre de multiplicité M de cette même valeur propre dans le polynôme minimal te donne la taille du plus grand bloc. Donc :
- Si M=1 tu conclue qu'il y a N blocs de taille 1.
- Si M=N tu conclue qu'il y a un bloc de taille M.
- Si M=N-1 tu conclue qu'il y a un bloc de taille M et donc forcément ce qu'il reste c'est un bloc de taille 1.
Dans les autres cas, ben tu peut pas conclure.
Par exemple dans l'exo 3, pour la valeur propre , N=4 et M=2 et il peut y avoir soir deux blocs de taille 2, soit un bloc de taille 2 et deux de taille 1 (*)
Et sinon, au vue des 3 points çi dessus, lorsque , on peut systématiquement conclure (en fait le plus petit cas où on ne peut pas conclure, c'est en dimension 4 et il faut qu'il y ait une seule valeur propre et un polynôme minimal de degré 2).

Sinon, concernant le problème du cops pas nécessairement algébriquement clos, ce qu'il faut démontrer, c'est que, si sont telles qu'il existe (où est un sur-corps de ) tel que alors il existe aussi tel que .
(attention au fait que la matrice n'est pas forcément dans : il peut exister plusieurs matrices telles que )

(*) Remarque : si on connaissait en plus la dimension du s.e.v. propre qui correspond en fait au nombre de blocs , on pourrait conclure.

Et si ça t'amuse, tu peut te poser la question de savoir jusqu'à quelle taille de matrice on peut conclure que deux matrices sont semblables en sachant uniquement qu'elles ont même polynôme caractéristique, même polynôme minimal, et même dimension pour les sous-espaces propres.

[Lostounet]

Je pense avoir compris pour la Jordanisation, merci beaucoup Ben.

Pour le second point je dois y réfléchir un peu... ça m'a pas l'air trivial pour le moment. Si entre temps tu voudras me donner un petit indice? Cela m'aiderait un peu...

[Ben314]

L'indice que je peut te donner, c'est qu'étant donné deux matrices A et B fixées, si on regarde l'équation dont les inconnues sont les coefficients de la matrice P ben ce n'est jamais qu'un système linéaire (avec tout plein d'équations et tout plein d'inconnues, mais ça, on s'en fout...)
Et normalement tu devrais savoir ce qu'il se passe lorsque l'on résous un bête système linéaire sur deux corps différents.

[Lostounet]

J'ai vraiment en tête que R et C. Si on a des inconnues réelles et des constantes imaginaires (cf la preuve de R et C) on peut prendre des parties réelles et parties imaginaires ...?

(Juste une remarque je viens d'essayer de lire ce pdf page 14 https://www.google.fr/url?sa=t&source=w ... EwIIhG2y2g
Mais ta démarche est nettement meilleure car plus... accessible)

[Ben314]

J'ai vraiment en tête que R et C. Si on a des inconnues réelles et des constantes imaginaires (cf la preuve de R et C) on peut prendre des parties réelles et parties imaginaires ...?

Si tu cherche à faire des "analogies", c'est forcément dans l'autre sens, c'est à dire par exemple des inconnues complexes et des coefficients dans R, voire même dans Q.
La raison, c'est que dans notre cas, les matrice connues A et B sont à coeff dans un "petit" corps k et ce qu'on sait, c'est qu'il y a des solutions à PB=AP avec P à coeff. dans la clôture algébrique K de k vu que A et B ont des formes de Jordan identiques dans Mn(K).
Le problème est alors de savoir si cette même équation PB=AP a aussi des solutions dans k.

Bref, l'analogie, ça serait plutôt de partir d'un système linéaire à coefficients dans Q et dont on connait les solutions dans C et on se demande quelles sont les solutions dans Q.

Attention quand même au fait qu'une fois résolu ce problème là (assez trivial), il va rester la partie un peu plus coton qui consiste à dire que l'on cherche non seulement des matrices P telles que PB=AP mais qu'en plus, on en veut qui soient inversible (par exemple la solution évidente P=0 ne nous intéresse pas franchement)