Thm de comparaison série et intégrale

[Marcet003]

Bonjour,

Y 'a quelque chose qui me chiffone à propos des thm de comparaison pour série et son "équivalent" pour intégrale suivant.

Pour :



Pour :


Dans le premier critère, on compare des séries à termes positifs (ou rendus positifs par une valeur absolue, si jamais la série est à termes négatif). Dans le deuxième critère, le signe des fonctions n'importe pas.

Pourquoi ?

Je sais déjà que le fait de comparer deux séries à termes positifs permet d'éviter de comparer une série alternée conditionnellement convergente, i.e ds. l'exemple et son équivalent en l'infini, i.e par exemple , cas dans lequel le critère n'est pas valable.

ex:

On peut montrer que diverge alors que le critère de comparaison appliqué sans les valeurs absolues suggère que converge...

Y'a-t-il d'autre raison pourquoi on compare des séries positives ?

J'ai aussi lu que le critère de comparaison pour les séries était aussi valable pour des séries à signes constants à partir d'un certain rang. Qu'est-ce que cela veut dire concrètement ?
Les signes des séries peuvent-ils être opposés ou doivent-ils être les mêmes ?
Est-ce que ça ferait sens de comparer une série à termes négatif à partir d'un certain rang avec une série à terme positifs à partir d'un certain rang ?

Désolé pour la longueur des questions,
Merci beaucoup d'avance...

[Ben314]

Salut,
1) Tu ne devrait pas utiliser le symbole qui usuellement signifie "équivalent" pour autre chose que ça sans préciser explicitement que tu ne l'utilise pas dans son sens usuel.
2) Les deux résultats que tu énonce au début de ton post sont faux : le premier du fait que rien dans tes hypothèses ne dit que la suite reste de signe constant (à partir d'un certain rang) et du fait que tu ne suppose pas que la limite du rapport est non nulle.
Et le deuxième est faux du fait de l'absence de l'hypothèse .

Ensuite, je ne suis pas sûr de bien comprendre la question "Pourquoi considère t'on des fonctions/suites de signe constant dans les théorèmes en questions ?" .
Il me semble que la réponse est on ne peut plus triviale : parce que, lorsque l'on écrit la preuve de ces résultat, on a besoin de cette hypothèse pour conclure (et que de plus, le contre exemple que tu donne toi même montre que sans cette hypothèse, le résultat devient faux).

Sinon, concernant tes histoire de "même signe ou pas même signe" et "positif à partir d'un certain rang ou pas", je te rappelle que, parmi les résultat totalement basique (et évident) concernant les séries, il y a ces deux là :
- La série est convergente si et seulement si l'est.
- La série est convergente si et seulement si l'est (qui dit de façon "carré-carré" un truc qui me semble évident, à savoir qu'en ce qui concerne la convergence d'une série, on se fiche des premiers termes)

Exactement la même chose pour les intégrales où le deuxième points s'énoncerais sous la forme :
Si est continue sur et que alors les intégrales et sont de même nature (lui aussi totalement évident en écrivant la définition de ce qu'est une intégrale convergente).

[Marcet003]

Désolé pour les lacunes, je vais réécrire les théorème corrigés ci-dessous :

Pour :



Pour :


Merci pour les rappels élémentaires, c'était pas clair pour moi que converge ssi converge aussi.

Je vais reformuler ma question. Ce que je n'ai pas compris, c'est pourquoi on met des valeurs absolues ds. le thm. qui concerne les séries et qu'on n'en met pas dans le thm. qui concerne les fcts. ? Dans mon polycopié,
c'est précisé que spdg. ds. un voisinage de b, mais il n'y a rien de plus de précisé sur ....

[Ben314]

Merci pour les rappels élémentaires, c'était pas clair pour moi que converge ssi converge aussi.

Tu n'a jamais vu que, si une suite réelle est convergente (vers ) et si est un réel alors la suite est convergente (vers ) ?
Parce que, retranscrit pour les séries (c'est a dire appliqué aux sommes partielles d'une série), ben ça te donne immédiatement le même résultat pour les séries, à savoir que, si est convergente (vers ) alors est elle aussi convergente (vers ).
Et, bien sûr, il suffit de prendre pour avoir le résultat que tu cite.

Et sinon, les deux résultat que tu cite sont fondamentalement vrais pour les trucs (suite ou fonctions) qui sont de signe constant (*), et la différence réside uniquement dans le fait que, dans le deuxième théorème tel que tu l'a écrit, l'hypothèse "g est continue et ne s’annule jamais sur [a,b[" implique qu'elle reste de signe constant (donc pas la peine de le mettre dans les hypothèses) puis, le fait que f/g tend vers une limite non nulle implique que f reste de signe constant sur un certain voisinage de b (donc pas la peine de le mettre dans les hypothèses non plus).
Alors que, bien sûr, pour une suite réelle , de dire que la suite ne s’annule jamais n'implique absolument pas qu'elle reste de signe constant.

(*) éventuellement à partir d'un certain rang ou d'un certain vu que clairement, ça ne change rien en ce qui concerne la conclusion.

[Marcet003]

Merci beaucoup. C'était exactement ce point qui n'était pas clair pour moi.
Je vais essayer de récapituler :
Dire que est continue est ne s'annule pas au voisinage d'un point revient à dire qu'elle est de signe cste. au voisinage de ce point.
Et si la limite de en ce point existe, c'est que est aussi de signe cste. ds. le voisinage dudit pt.
L'approche n'est pas la même pour les suites, il faut ajouter explicitement le fait que sont de signe cste. au voisinage de l'infini (avec la valeur absolue par exemple). Car une suite peut être non nulle et alternée (contrairement à une fct. continue de signe cste.).
Dans les 2 cas, peut importe le signe par les propriétés rappelées.