Théorème de Noether (bis et répétita)

[Ben314]

Suite au post de barbu sur le "théorème de noeter" où je me posait la question de comment trouver si plus de deux polynômes ont des racines communes.
En cassant des noisettes pour faire une galette, une idée m'est venue.
Soit P1,P2, P3 trois polynômes. je calcule le résultant R de P1 et de P2+T.P3 (ou T=variable formelle)
Bon, évidement, si les trois polynômes ont une racine commune alors R est nul pour tout T, donc les coeff de R vu comme polynôme en T sont tous nul (O.K. ?)
Je pense que la réciproque est vrai, mais la preuve ne me saute pas aux yeux (dans le cas de C, avec de la topologie, je pense m'en sortir, mais dans un conteste purement algébrique, à froid, je vois rien de simple...)

[ffpower]

Et si on calculait le pgcd avec l algorithme d Euclide, non?

[Ben314]

Le problème du pgcd, c'est qu'il n'y a pas "continuité" de l'algorithme :

Peut t'on calculer le pgcd "formel" de aX^3+bX²+cX+d et de a'X^3+b'X²+c'X+d' sans faire des tonnes de 'cas particuliers ?

[ffpower]

Evidemment, pour une formule générique, c est pas le plus pratique. Mais aprés ca dépend du contexte. Si c est pour faire un truc abstrait, perso, je dit "Soit D" le pgcd et je travaille avec ce D sans faire quelque algo que ce soit..

[Doraki]

Je rappelle que si et alors leur résolvant vaut

Donc si on suppose que P s'écrit comme ci-dessus (quitte à avoir K algébriquement clos),

Si le résolvant est nul alors :
le coefficient devant T^0 est nul donc on a un xi tel que Q(xi) = 0.
le coefficient devant T^1 est nul donc R(xi) = 0 ou on a un autre xj tel que Q(xj) = 0.
Dans ce cas, le coefficient devant T^2 est nul donc R(xi) = 0 ou R(xj) = 0 ou on a un autre xk tel que Q(xk) = 0.
etc.

[barbu23]

svp, A quoi sert generalement le resolvant de deux polynomes ? :happy3:
Où le trouve -t-on constemment comme application en algèbre ?
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Je rappelle que si et alors leur résolvant vaut

Donc si on suppose que P s'écrit comme ci-dessus (quitte à avoir K algébriquement clos),

Si le résolvant est nul alors :
le coefficient devant T^0 est nul donc on a un xi tel que Q(xi) = 0.
le coefficient devant T^1 est nul donc R(xi) = 0 ou on a un autre xj tel que Q(xj) = 0.
Dans ce cas, le coefficient devant T^2 est nul donc R(xi) = 0 ou R(xj) = 0 ou on a un autre xk tel que Q(xk) = 0.
etc.

Ca me semble effectivement tout ce qu'il y a de plus concluant, et cela pourait bien être le "chainon qu'il me manquait" pour comprendre la preuve de l'autre post...

Pour Barbu : les résolvant, ca sert... à plein de chose, le résultant de P et P' est appellé "discriminant", par exemple, si P=aX²+bX+c, le résultant de P et P' est b²-4ac (il me semble que, rien que ça, des fois ça sert...)
Il me semble que c'est aussi super indispensable pour l'étude des "variétés algébrique", c'est à dire des variétées définies par une équation polynômiale en un certain nombre de variables du style les points de R^3 tels que X^3+Y^3+Z^3=1 (là je connait pas trop...)

Il me semble que d'avoir un "truc" purement algébrique (si les polynômes sont à coeff dans un anneau, le résultant reste dans l'anneau) pour savoir si deux polynômes ont des racines communes, ça peut que être utile !!!

[Doraki]

Néanmoins y'a un truc qui me chiffonne.
Intuitivement j'aurais dit que la variété des triplets de polynômes ayant une racine commune est de codimension 2, et donc qu'on pourrait décider si 3 polynômes ont une racine commune en regardant seulement 2 quantités.
C'est très louche :/

[Ben314]

Je pense que, dans l'absolu (i.e. "localement), deux polynômes peuvent suffire, mais à mon avis, c'est comme quand on donne des conditions pour qu'une matrice nxn soit de rang inférieur ou égal à n-2, si tu regarde le nombre de sous-determinants (n-1)x(n-1), il y en as beaucoup trop par rapport à la dimension de la variété constitué par ces matrices : les conditions se "chevauchent", mais il me semble que sans hypothèse du type "tel déterminant (n-2)x(n-2) est non nul", tu as du mal à enlever des conditions....

P.S. Si ce que je j'ai dit n'est pas clair, regarde le nombre d'équations mini qu'il faut pour caractériser qu'une matrice 3xn est de rang inférieur ou égal à deux....

[Doraki]

Il y aussi le fait qu'on a l'un des trois polynômes qui joue un rôle particulier.
Je me demande si on peut encore tirer la variété en arrière avec les permutations des trois polynômes.

[Ben314]

Il y aussi le fait qu'on a l'un des trois polynômes qui joue un rôle particulier.

Ca, justement, j'en suis pas si sûr que ca, je me posait la question avec par exemple 4 polynomes, s'il y a une différence entre Résultant(P1+T.P2,P3+T'.P4) et Résultant(P1,P2+T.P3+T'.P4) et je me demande si, en regardant le résultant comme un déterminant et en le développant, on tombe pas sûr texto la même chose.

Pour Résultant(P1,P2+T.P3) et Résultant(P2,P3+T.P1) je me demande aussi s'il n'y as pas des liens trés simples...

Bon, je vais me coucher (il faut que je me lève à 6h et c'est franchement pas dans mes habitudes...)

EDIT : Tu as du faire la même remarque que moi, vu que... tu as enlevé la remarque....