Théorème de la limite centrée ...

[Ptiboudelard]

Bonsoir à tous !

J'ai eu ce théorème dans mon cours, mais je ne l'ai pas très bien compris... Pourriez vous m'expliquer ce théorème ? ( dans la mesure du possible, assez simplement )

Je vous remercie !

[Joker62]

Hé bien si tu as une variable aléatoire X dans L^2 et si tu en prends un échantillon (Xn) (Une suite indépendante et identiquement distribuée) alors en posant S_n = X1 + ... + Xn

Tu as que ta variable (Sn - n.E(X))/(Var(X).Racine(n)) qui tend en loi vers une normale centrée réduite.

Concrétement, En notant Yn la variable plus haut on a :

P(Yn <= x) -------> intégrale(-;)..x) e^(-x^2)/2 dx/racine(2;))

[Ptiboudelard]

youps, pas tout compris à la rédaction ... désolé ... :-S

[Joker62]

Lol oui c'était conçit pardon

Donc tu prends une variable aléatoire X dans L^2 d'espérance E(X) = p et de variance Var(X) = q;
Tu en prends un échantillon (Xn) et tu pose S_n = X1 + ... + Xn ( La suite des sommes partielles en fait )

Hé bien le théorème de la limite centrale te dit qu'en fait la variable

Yn = tend en loi vers une "normale centrée réduite"

Concrètement, quand on fait beaucoup de test ( n très grand ), on peut supposer que l'on travaille avec une loi normale centrée réduite qui est entièrement tabulée et donc que l'on connaît bien.

[Ptiboudelard]

oui d'accord ! Je vois mieux ... mais je vois que le paragraphe lié à ce théorème est dans la partie approximation de lois binomiales par loi de poisson et loi normale. Il y a un lien particulier ?

[Joker62]

Bé en fait, on peut quasiment approcher toutes les lois vers une loi normale.
C'est certainement placé dans ce paragraphe car tu n'as pas encore tous les outils pour démontrer ce théorème.

Il a été démontré au début pour des loi binomiales avec des formules horribles sur la formule de Stirling ( C'est le théorème de De Moivre - Laplace ).
C'est pas ce qu'il y a des plus agréables ( Si tu veux une preuve un peu plus simple, ça se trouve dans [Rényi - Calcul des probabilités] )

La preuve générale utilise un développement limité à l'ordre 2 des fonctions caractéristiques et se fait assez simplement.

[alavacommejetepousse]

bonsoir

approximation de loi binômiale par poisson rien à voir mais

approximation de binômiale par normale oui et approximation de poisson par normale aussi car

une binômiale B(n,p) est somme de n var de bernouilli indépendantes de paramètre p

de même une poisson de paramètre na est somme de n var de poisson indépendantes de paramètre a
d'où l'approximation des deux par une var de loi normale de même espérance et même variance lorsque n est grand (plus autre condition)

[Ptiboudelard]

D'accord ! Merci pour toutes ces précisions! ca m'a beaucoup eclairci !