Théorème des accoissements finis

[Florix]

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre ces deux questions :

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On considère un nombre réel strictement positif a et la fonction f définie pour tout nombre réel x par f(x) = exp (a(x-1)) . On définit alors une suite (Uk) par son premier terme U0 = 0 et la relation Uk+1 = f(Uk)

(a) A l’aide de l'inégalité des accroissements finis, établir que

0 <= 1 - Uk+1 <= a ( 1 - Uk)

Alors j'ai calculé f' de x, j'ai montré que 0 <= f ' (x) <= 1 . Ceci étant ensuite impossible d'établir la relation quand j'applique le TAF sur [0,x] (je tombe sur une équation bien différente impossible à modifier pour retrouver la relation établie)

(b) En déduire l'inégalité 0 <= 1 - Uk <= a^k (a puissance k) pour tout nombre entier naturel k AINSI que la limite L(a) de la suite (Uk) pour 0 < a < 1 .

N'arrivant pas la question a, j'ai admis les résultats puis je suis passé à la question b en essayant de me servir du résultat admis de la question a, et là encore, j'ai une page entière de calcul qui n'aboutit à rien (ou si, qui aboutit à k - 1 = k ce qui est impossible, donc oui ça n'aboutit à rien)
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Si vous avez une petite idée pour m'aider, je suis preneur !

Merci d'avance

Florix

[Florix]

Personne n'a une petite idée ???

:help:

[abcd22]

Bonsoir,
Pour la a on peut faire une récurrence sur k :
pour passer du rang k - 1 au rang k, si on suppose , on a donc sur , et , avec l'inégalité des accroissements finis sur on trouve
. Comme , .
Pour la b : , il faut faire une récurrence pour bien rédiger.

[Florix]

J'ai jamais fait de récurrence au rank k-1 . Je suppose que c'est exactement le même principe ? Et puis juste une petite question aussi : en appliquant le TAF sur [Uk, 1], on montre pas que l'égalité est vraie sur R+ mais que sur l'intervalle [Uk, 1] non ?

[abcd22]

C'est exactement pareil de rédiger une récurrence en supposant une propriété vraie au rang k-1 et en la montrant au rang k qu'en la supposant vraie au rang k et en la montrant pour k+1 (il faut juste supposer k plus grand que 1 au départ), c'est juste pour obtenir pareil que l'énoncé à la fin de la démonstration (parfois on trouve des formules plus simples avec k qu'avec k+1 aussi, là ce n'est pas le cas), mais tu peux rédiger en supposant la propriété vraie pour k et en la montrant pour k+1 si tu préfères.
Je ne comprends pas la question sinon, l'inégalité qu'on veut montrer c'est , ce n'est pas une inégalité entre des fonctions mais entre des réels, elle n'a pas d'intervalle de validité.