Taux de dérivabilité en 1

par **Menthix** » 10 Fév 2015, 22:13

Bonsoir,
Je dois calculer la dérivée d'une fonction prolongée par continuité, or je n'arrive pas à calculer la limite du taux d'accroissement en 1, ça me fait une FI.
Voici le sujet : http://image.noelshack.com/fichiers/2015/07/1423602611-img-20150210-220416.jpg
c'est la question 3 sur 0,+infini

Et voici ce que je trouve en taux de dérivabilité (h tend vers 0):
http://image.noelshack.com/fichiers/2015/07/1423602761-img-20150210-220430.jpg

Merci d'avance

par **mathelot** » 10 Fév 2015, 22:47

où emploie t on l'expression "taux de dérivabilité" ?

par **Menthix** » 10 Fév 2015, 23:40

Taux d'accroissement, autant pour moi.

par **mathelot** » 10 Fév 2015, 23:43

par **mathelot** » 11 Fév 2015, 08:58

on prolonge par continuité en x=1 par

si

calcul de

si

utilisons la dérivée logarithmique d'un quotient

si

alors

par **Menthix** » 11 Fév 2015, 09:01

Oui ça c'est ce que j'ai trouvé dans la question 1, ma question est au niveau du taux d'accroissement question 3. Regarde la photo, deuxième lien, tu comprendras mieux.
PS: Je n'ai pas vu la dérivée logarithmique d'un quotient, mais de toute façon il faut que je calcule la dérivabilité de la fonction prolongée avant ça, non ?

par **mathelot** » 11 Fév 2015, 09:21

posons

donc

remarque: j'ai utilisé la notation de Landau , petit o qui signifie
o(1)= nimporte quelle fonction de limite nulle en x=1

par **mathelot** » 11 Fév 2015, 09:31

étudies la limite de f'(x) en x=1 , par curiosité....

par **mathelot** » 11 Fév 2015, 09:36

j'ai corrigé deux fautes dans mon expression de f' :hum:

en posant x=1+h dans f'(x):

d'où

est donc de classe

par **Menthix** » 11 Fév 2015, 09:42

mathelot a écrit:j'ai corrigé deux fautes dans mon expression de f' :hum:

Oui pour f'(x) c'est bien ce que j'avais trouvé pour la question d'avant. Ce qui m'embêtait c'était juste sur 0,+OO

par **mathelot** » 11 Fév 2015, 09:45

Menthix a écrit:Oui pour f'(x) c'est bien ce que j'avais trouvé pour la question d'avant. Ce qui m'embêtait c'était juste sur 0,+OO

est dérivable en x=1

est continue en x=1

par **mathelot** » 11 Fév 2015, 09:48

as tu vû en cours, l'arsenal utilisé:
DL du logarithme et petit "o" de Landau ?

pour les questions suivantes, utiliser l'inégalité des accroissements finis:

par **Menthix** » 11 Fév 2015, 09:54

Oui j'ai vu les développements limités, et j'avais fait ce calcul mais les DL me font peur :)
De plus je ne savais pas si l'on pouvait multiplier un DL avec une autre expression. Pour le petit o j'ai vu celui de la négligeabilité oui, de Landau ou pas de Landau je ne sais pas.

par **Menthix** » 11 Fév 2015, 09:55

En tout cas merci beaucoup

par **Menthix** » 11 Fév 2015, 10:00

Je n'arrive pas à démontrer le 4. a) en revanche

par **mathelot** » 11 Fév 2015, 10:13

Menthix a écrit:Je n'arrive pas à démontrer le 4. a) en revanche

il s'agit de diviser les termes de f' astucieusement, puis déccomposer
la fraction rationnelle en éléments simples.

sinon réduire au même dénominateur à droite de l'égalité

par **Menthix** » 11 Fév 2015, 10:14

Oui c'est bon en fait

par **mathelot** » 11 Fév 2015, 10:30

i) Quand tu auras fini ce DM, je te conseille, dans la foulée,
d'étudier

en x=0.
tu verras que ça se passe très différemment et que l'on n'obtient pas la classe

ii) évidemment,

étant continue, tu peux l'intégrer
(au sens de Riemann) si besoin.

par **Menthix** » 13 Fév 2015, 16:25

Pour la question 5.(a), à part calculer la dérivée seconde, y a pas un autre moyen ?

par **mathelot** » 13 Fév 2015, 16:32

Menthix a écrit:Pour la question 5.(a), à part calculer la dérivée seconde, y a pas un autre moyen ?

utilisez la continuité de

en x=1 avec

Taux de dérivabilité en 1

Taux de dérivabilité en 1

nb dérivé en x=1

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