TAA=AtA

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gaia38
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tAA=AtA

par gaia38 » 02 Jan 2018, 13:13

Bonjour, (et bonne année tant qu'à faire)
Je bloque ce matin sur un point tout à fait insignifiant de mon cours au sujet de la caractérisation des matrice orthogonales.

On a défini une matrice orthogonale M, à partir de l'application de R^n qui à X associe MX tel que cette application soit un endomorphisme orthogonal et on prouve ensuite les autre équivalences.

Seulement on a rapidement expédié les trois équivalences suivantes car M est carrée:
1. tMM=Id
2. M tM = Id
3. Inverse de M = tM

...en disant que le coefficient i,j de M tM est et que de ce fait c'est le même que le coefficient i,j de tMM
or si je ne me trompe ce dernier est qui n'a aucune raison d'être égal au précédent non?

cela m'embête énormément cela semble trivial puisque développé dans aucun cours, j'aimerais comprendre.
a-t-on la relation tMM = M tM pour toute matrice carrée?



aviateur
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Re: tAA=AtA

par aviateur » 02 Jan 2018, 14:50

Bonjour vérifie sur un exemple!!
M=

gaia38
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Re: tAA=AtA

par gaia38 » 02 Jan 2018, 15:02

D'accord ça ne marche pas (je m'y attendais) mais alors comment montrer l'équivalence? Parceque c est expliqué nulle part ça semble évident mais moi jr ne vois pas...

pascal16
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Re: tAA=AtA

par pascal16 » 02 Jan 2018, 15:23

M n'est pas n'importe quelle matrice, c'est une matrice orthogonale.
c'est cette propriété qui permet de tout faire simplement, le démo doit donc commencer par l'application de la définition de l’orthogonalité de la matrice ou d'une propriété déjà démontrée.
Pour la démo, je suis trop rouillé.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_orthogonale

Pseuda
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Re: tAA=AtA

par Pseuda » 02 Jan 2018, 15:29

Bonjour et bonne année 2018 !

Ce n'est pas expliqué parce que c'est évident :

De manière générale, dès que l'on a AB=Id, alors on a BA=Id (c'est un cas où le produit est commutatif). Et AB =Id ssi A=B^(-1). Il ne reste plus qu'à l'appliquer aux matrices M et tM.

Grillée par pascal16, je laisse.

gaia38
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Re: tAA=AtA

par gaia38 » 02 Jan 2018, 15:53

D'accord, merci beaucoup je vais essayer de démontrer ça alors

Pseuda
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Re: tAA=AtA

par Pseuda » 02 Jan 2018, 19:45

Pour t'aider : si AB=I, alors A est la matrice d'un endomorphisme bijectif (car de déterminant non nul), donc A est inversible. On a alors A^(-1)AB = B = A^(-1). Donc BA=I.

gaia38
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Re: tAA=AtA

par gaia38 » 03 Jan 2018, 10:07

Ah parfait, je te remercie maintenant mon cours ne me pose plus aucun problème !

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