Systeme

[houssamhoussni]

xalutt,
on me demande de résoudre le systeme et trouver (a,b,c) un triple de réels tel que:
a+b+c=0
exp(a)+exp(b)+exp(c)=3
merci d avance!

[Ben314]

Salut,
On montre facilement que, pour tout réel x, on a avec égalité uniquement pour .

[Pseuda]

Bonjour,

S'agit-il de trouver une solution (0,0,0) ou toutes les solutions ?

Sinon :
@Ben314 Je ne vois pas en quoi la considération (e^x>=x+1 pour tout x réel) permet de dire que c'est la seule (on peut avoir a, b ou c négatif, ou j'ai mal lu) ?

[Ben314]

Sinon :
@Ben314 Je ne vois pas en quoi la considération (e^x>=x+1 pour tout x réel) permet de dire que c'est la seule (on peut avoir a, b ou c négatif, ou j'ai mal lu) ?

Donc les 3 inégalité sont en fait des égalités et ça prouve que la seule solution est a=b=c=0.

Et c'est fondamentalement un argument de convexité vu que pour une fonction strictement convexe (donc par exemple l'exponentielle) quelque soit et quelque soient les réels on a avec égalité ssi

[Pseuda]

Donc les 3 inégalité sont en fait des égalités et ça prouve que la seule solution est a=b=c=0.

Ok ! Ceci prouve seulement que a+b+c=0, ce qui était déjà une hypothèse, mais pas que a=b=c=0.

Et c'est fondamentalement un argument de convexité vu que pour une fonction strictement convexe (donc par exemple l'exponentielle) quelque soit et quelque soient les réels on a avec égalité ssi

Ok. J'en étais là, c'est parce que la fonction exp est convexe qu'on aboutit à a=b=c=0.

Pour preuve, on prend la fonction f : x-> x+1, ou une autre fonction affine par morceaux non convexe sur R qui vérifie f(x) >=x+1. Elle vérifie la même hypothèse que la fonction exp, mais elle ne permet pas de conclure a=b=c=0.

[chan79]

xalutt,
on me demande de résoudre le systeme et trouver (a,b,c) un triple de réels tel que:
a+b+c=0
exp(a)+exp(b)+exp(c)=3
merci d avance!

salut
on peut poser:
A=
B=
C=
on cherche donc 3 réels positifs A, B et C els que
A+B+C=3
ABC=1
soit
A+B=3-C
AB=1/C
on montre que la seule solution est (A,B,C)=(1,1,1)

[Ben314]

Donc les 3 inégalité sont en fait des égalités et ça prouve que la seule solution est a=b=c=0.

Ok ! Ceci prouve seulement que a+b+c=0, ce qui était déjà une hypothèse, mais pas que a=b=c=0.

Si, ça prouve bien que a=b=c=0 : vu que tu as =3 des deux cotés, c'est que l'inégalité centrale est en fait une égalité et ce n'est possible que si a, b et c sont nuls.
Dit autrement, si un des 3 était non nul, alors l'inégalité au centre serait stricte et on obtiendrait l'inégalité absurde 3>3 (strict).

[Pseuda]

@Ben314 Ouh là oui ! Bon truc à repérer.

Ce qui est surprenant, c'est que ce résultat, qui est typiquement un résultat de convexité stricte sur R (l'égalité ne peut se produire que si a=b=c, généralisable à n variables), peut se démontrer à l'aide d'un argument de convexité en un seul point (courbe au-dessus de sa tangente en 0).