Surjectivité d'un polynome complexe

[Madmaxou]

Alors voilà, je suis en BCPST première année, et je bloque sur un problème de compréhension au sujet d'un exercice de maths :

f : C ---> C
z ---> z²+z+1

Il faut dire si cette fonction est surjective ou injective.

Pour démontrer qu'elle n'est pas injective, aucun problème ! On prouve qu'il y a deux solutions pour f(z)=1.

Mais pour la surjectivité, je me suis fait un peu largué par mes raisonnements !

J'ai dit qu'il faut prouver qu'il existe, pour tout c de l'ensemble C, c=f(z)

Donc, c=z²+z+1

On peut alors écrire : z²+z+(1-c)=0

Donc, on calcule le discriminent, on a : Delta = 4c-3

C'est alors que l'on a au moins une solution au moins pour ceci, car c est un paramètre dont on peut faire varier la valeur.

Mais si l'on reprend la définition de la surjection, alors il faut que l'on puisse trouver chez z²+z+1 toutes les valeurs possibles de l'ensemble C, et je n'ai pas vraiment compris ce que j'ai démontré, car ça n'a pas l'air de marcher si on prend c un nombre complexe, mais seulement pour des nombres c réels ! Car si c=1+i, par exemple, alors on aurait : z²+z+i=0, et apparemment ça n'admet aucune solution de z selon ma calculatrice ! Alors comment dire que l'on peut retrouver toutes les valeurs de l'ensemble C dans z²+z+1 ? :hum:

Alors est-ce vraiment une surjection ? Merci de m'éclairer :)

[Ben314]

Pour répondre directement à a question finale, oui, c'est une surjection.

Pour le prouver, il faut faire... comme tu l'a fait mais en expliquant (et comprenant) mieux le rôle des deux variables c et z.
Pour montrer que f est surjective, il faut montrer que, si on prend un c quelconque dans l'ensemble d'arrivé de f (c'est à dire C) il existe au moins un z dans l'ensemble de départ de f (c'est à dire encore C) tel que f(z)=c (le(s) z, s'il(s) existe(nt) vont évidement dépendre de c)

Cela conduit effectivement à z²+z+1-c=0, équation dans laquelle tu cherche z en supposant que tu connais c (mais comme il est "quelconque", tu n'a aucune hypothèse concernant le c).
Jusque là, c'est ce que tu as fait. Le calcul de delta est encore O.K., mais ensuite, il faut faire attention au fait que 1-c est (presque surement) non réel et que le(s) z que tu cherche, tu les cherche dans C (et pas uniquement dans R).

Donc tu as affaire à une équation du second degrés à coefficients dans C dont tu cherche les solutions dans C. Tu as vu la théorie concernant ces équations ?
(ça ressemble un peu au cas réel, mais les conclusion ne sont pas les mêmes...)

P.S. Il y a un soucis avec ta calculette : l'équation z²+z+i=0 a pour solution (approximative)
z = -1.30024259022012 + 0.62481053384383 i

[Madmaxou]

Oh je vois ! Je me suis entêté à vouloir ne pas comprendre la généralisation du c, là je comprends mieux mon erreur !

Non je n'ai pas vu, je l'ai lu quelque part, que tous polynômes complexes étaient surjectifs il me semble, mais ça ne paraissait pas si évident il y a de ça 10 minutes !

Merci :-)

[Ben314]

Le fait que tout les polynômes (non constants) de C[X] soient surjectifs est un peu complexe à montrer (c'est souvent admis au niveau bac+1 / bac+2).
Par contre, pour ceux de degrés 2, ce n'est pas trop compliqué à montrer : il suffit de reprendre la preuve faite dans le cas réel (celle qui conduit au résultat "si Delta>0 alors il y a deux solutions....")
Et de constater que TOUT complexe est le carré d'un autre complexe (alors que seuls les réels positifs sont des carrés de réels) ce qui va faire que TOUTES les équations du second degrés ont au moins une solution.

[Madmaxou]

Juste comme ça, si on était dans le cas de R ---->R avec la même équation, la fonction ne serait ni injective, ni surjective, vrai ?

[Ben314]

Juste comme ça, si on était dans le cas de R ---->R avec la même équation, la fonction ne serait ni injective, ni surjective, vrai ?

oui (comme tout polynôme du second degrés en fait)

[Madmaxou]

D'accord et merci pour tout ! Pour ma calculette c'est une casio GRAPH 35+, à laquelle il manque un solveur dans les nombres complexes ! Mais j'ai calculer à la main, et en effet, on trouve (-i+isqrt(-4i-1))/2, ce qui donne bien le résultat énoncé !

[Ben314]

D'accord et merci pour tout ! Pour ma calculette c'est une casio GRAPH 35+, à laquelle il manque un solveur dans les nombres complexes ! Mais j'ai calculer à la main, et en effet, on trouve (-i+isqrt(-4i-1))/2, ce qui donne bien le résultat énoncé !

C'est effectivement ça.

Aprés, les "puristes" (dont je fait parti...) considère qu'il vaut mieux éviter d'écrire racine(nombre complexe) : pour un complexe non nul Z fixé, il y a deux complexes z (opposés l'un à l'autre) qui vérifient z²=Z et on ne sais pas trop lequel des deux est "LA" racine carrée de Z.

Dans un cas comme ici, ce n'est pas grave vu qu'on peut prendre n'importe laquelle des deux racines de -4i-1, mais je trouve qu'il est quand même préférable d'écrire "LES DEUX solutions sont (-i+i.alpha)/2 où alpha est UNE DES DEUX racines carrées de -4i-1" (mais c'est vrai que c'est plus long à écrire...)

[deltab]

Bonjour

oui (comme tout polynôme du second degrés en fait)

Ce résultat 'se justifie' rapidement sans restreindre la généralité en utilisant le graphe de P(x)=x^2+ax+b.
Il existe alors dans tel que
(1) et même
(2) , avec (et tous deux .
(3)

(2) donne: P(x) n'est pas injectif et (3): P(x) n'est pas surjectif.