Suite et série de fonctions

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

je n'ai pas absolument pas compris la démonstration ci dessous.

Soit I un intervalle de R et la suite fn où fn:I-->R sont continues
Soit g: I-->R

Si fn converge uniformément vers g dans I alors g est continue dans I.

Maintenant il faut montrer que g est continu.

Soit . Montrons que g est continue en

g(x)-g(x0)=g(x)-fn(x)+fn(x)-fn(x0)+fn(x0)-g(x0)
=> |g(x)-g(x0)|=|g(x)-fn(x)|+|fn(x)-fn(x0)|+|fn(x0)-g(x0)|
=> |g(x)-g(x0)|=|a|+|b|+|c|

Soit >0 puisque fn converge uniformément vers g alors il existe n0 , |g(a)-fn(x)| , |a| et |c| 0 / |x-x0| |fn(x)-fn(x0)| |g(x)-g(x0)| |g(x)-g(x0)| g est continue dans I

Aurais je fais une erreure en recopiant ?

[Cryptocatron-11]

Soit >0 puisque fn converge uniformément vers g alors il existe n0 , |g(a)-fn(x)|< /3
Ici je ne comprend pas le |g(a)-fn(x)|< /3. A t-on le droit de prendre a et x pour la convergence uniforme ? n'aurait il pas fallu avoir |g(x)-fn(x)|< /3 ? car si je prend a différent de x il est évident que j'aurai peu de chance d'avoir g(a)=g(x) non ?
Qui dit aussi que a appartient à I ?

Hmm :id: .... je crois qu'à la place du a c'était un x d'ou mon incompréhension du moins c'est ce qui me parait le plus logique non ? car ça nous permet d'appliquer correctement la convergence uniforme

Cela dit j'ai encore une question existencielle :
je peux trouver un n tel que |g(x)-fn(x)|< /3
mais lorsque je passe à |g(x0)-fn(x0)|< /3 qui me dit que le n n'a pas changé ????? car si je garde le même n fixé il se peut très bien que |g(x0)-fn(x0)| soit supérieur à /3 , non ??? :mur:

[Cryptocatron-11]

Ah non mais que je suis con !!

c'est à cause de la convergence uniforme qui ne dépend pas de x !!!!!!

donc que je prenne x0 ou x tant que ça appartient à I c'est bon :stupid_in

c'est bien ça la cette fois ci ? :we:

[Joker62]

Hello !

En effet, c'est un x et pas un a

Soit e>0

La convergence uniforme donne l'existence d'un n1 tel que pour tout n > n1, |g(x)-f_n(x)|Pareil, il existe n2 tel que pour tout n>n2 |g(x0) - fn(x0)|
La continuité de f_n assure qu'il existe un éta tel que |x-x0| < éta alors |fn(x) - fn(x0)|
Donc en effet, c'est pas forcément le même n (pour la convergence uniforme) mais il suffit de choisir le plus grand pour que ça fonctionne. (Voir la définition de CU)