Suite périodique (MPSI)

[Emmanuelle89]

bonjour,
soit n un entier naturel tel que n>=2
a un entier relatif
n et a premiers entre eux
k un entier naturel, on note Rk le reste de la division euclidienne de a^k par n.
J'aimerais que vous me donniez une PISTE et non la REPONSE pour montrer que la suite Rk est périodique svp...

[Dominique Lefebvre]

bonjour,
soit n un entier naturel tel que n>=2
a un entier relatif
n et a premiers entre eux
k un entier naturel, on note Rk le reste de la division euclidienne de a^k par n.
J'aimerais que vous me donniez une PISTE et non la REPONSE pour montrer que la suite Rk est périodique svp...

Bonsoir,
Tu peux partir de la définition d'une suite périodique: c'est généralement un bon point de départ! Définition qui est : ?

[Emmanuelle89]

(Un) est périodique ssi Un+p=Un
Je vois très bien pourquoi (Rk) est périodique car 0<=Rk

[alben]

(Un) est périodique ssi Un+p=Un
Je vois très bien pourquoi (Rk) est périodique car 0<=Rk<n

Soit n valeurs possibles
Oui, donc si tu prends n+1 termes successifs de ta suite...

et les congruences sont toujours périodiques

ça ne veut rien dire
Il te faut regarder ce qui se passe pour les successeurs si

[Emmanuelle89]

ça fait 3 jours que je tourne en rond :'(

[lapras]

salut,
à ta place je regarderais du coté du petit théoreme de fermat ! :we:
Ca ne te donnera pas la plus courte période, mais une période.

[Emmanuelle89]

salut,
à ta place je regarderais du coté du petit théoreme de fermat ! :we:
Ca ne te donnera pas la plus courte période, mais une période.

Pour cela il faut que n soit premier et ce n'est pas le cas...

[abcd22]

Bonjour,
Cherche le théorème d'Euler qui est plus général que le petit théorème de Fermat.

[Emmanuelle89]

Bonjour,
Cherche le théorème d'Euler qui est plus général que le petit théorème de Fermat.

hum je vais chercher une démo de ce fameux théorème, je ne l'ai pas vu en cours mais peut-etre que la démo me débloquera...

[alben]

ça fait 3 jours que je tourne en rond :'(

Je pense t'avoir tout indiqué dans ma réponse : 3 étapes;
- il existe deux termes de la suite qui prennent la même valeur
th. des bergers ou des tiroirs
-si deux termes sont égaux, leurs successeurs...
-la période commendès k=0 car....

[aviateurpilot]

pour monter que est periodique il faux montrer l'existence d'un tel que .
donc tu n'a que trouver un tel que .(c'est tres facile si tu sais comment utiliser le fait que a est premier avec )

si x est premier avec y alors
i)
ii)

[Emmanuelle89]

qu'est-ce que le théorème des tiroirs ou des bergers?

[Babe]

qu'est-ce que le théorème des tiroirs ou des bergers?

si alben parle bien du principe des tiroirs, c'est:
si ta n chaussettes et m tiroirs, et n>m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d'une chaussette

[Emmanuelle89]

Je pense t'avoir tout indiqué dans ma réponse : 3 étapes;
- il existe deux termes de la suite qui prennent la même valeur
th. des bergers ou des tiroirs
-si deux termes sont égaux, leurs successeurs...
-la période commendès k=0 car....

Honnetement, j'ai du mal à comprendre.
Si k=0,
si alors
mais le coup du th des bergers...
et je ne vois pas trop où cela mène :hein:

[aviateurpilot]

pour monter que est periodique il faux montrer l'existence d'un tel que .
donc tu n'a que trouver un tel que .(c'est tres facile si tu sais comment utiliser le fait que a est premier avec )

Emmanuelle89 tu n'a pas vu cela????

[alben]

Ca devient pesant.
Emmanuelle89 a écrit 0<=Rk<n. Donc Rk peut prendre au plus n valeurs.
Principe des tiroirs : "si on met 11 chaussettes dans 10 tiroirs, un des tiroirs contient au moins 2 chaussettes".
En prenant, par exemple, les n+1 premiers termes de la suite, on est donc certain de trouver i et i+p tels que .
Par définition,
et ainsi de suite.
La suite est donc périodique à partir de i. (sans utiliser le fait que a premier avec n)
On a besoin de a premier avec n pour montrer que la période commence dès Ro