Suite de fibonacci

par **romanticide** » 07 Fév 2006, 09:25

bonjour

je rencontre quelques difficultés à montrer la chose suivante
la suite de fibonacci est définie par f0=0 f1=1 et fn+2=fn+1+fn

j'ai déjà montrer la relation de cassini fn+1fn-1-fn^2=(-1)^n

mais je n'arrive pas à montrer fm+n=fmfn+fm-1fn-1

je pense à une récurrence en fixant m ou n mais je ne m'en sors pas

votre aide est la bien venue

merci

par **yos** » 07 Fév 2006, 11:47

Salut.
Je fais une récurrence sur m.
"pour tout entier naturel n" est partout sous-entendu.

a) Pour m=0, c'est la relation connue.
b) On suppose la relation vraie jusqu'à l'entier m.

Ce qui achève la récurrence.

On peut aussi le prouver à partir de la formule explicite de fn :

où a et b sont les racines de x²-x-1.

par **romanticide** » 07 Fév 2006, 21:07

salut

j'ai bien suivi toutes les étapes de ton calcul mais comme tu fais une récurrence sur m je pensais qu'on aurais f(m+1)+n=f(m+1)fn+f(m+1)-1fn

merci

par **yos** » 07 Fév 2006, 21:16

ya du vrai. Une retouche s'impose.

par **yos** » 07 Fév 2006, 21:28

.

Tu as donc 4 termes. Regroupe le premier et le troisième d'une part, et le second et le quatrième d'autre part. Tu obtiens

. Et ce doit être bon.

par **romanticide** » 07 Fév 2006, 22:22

merci pour ta réponse

j'ai encore un problème je dois déduire de cette égalité que
fn^fm=f(m^n) j'ai mis ^ pour désigner le pgcd

j'ai posé D =fn^fm et d=m^n
mais je n'arrive pas à montrer que D divise fd

par **yos** » 07 Fév 2006, 22:54

Il y a un problème. J'ai prouvé une relation fausse. Cela ne marche pas pour n= 1 contrairement à ce que j'avais écrit. Peux-tu vérifier?

par **yos** » 07 Fév 2006, 22:59

La bonne relation doit être

.
Ca ne doit rien changer au principe de la récurrence : quelques "-1" à rajouter.

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