Spectre

[Anonyme]

Bonjour tout le monde,

je me posais qqs questions sur les possibles significations en physique du spectre des operateurs des espaces de Hilbert. J'ai bien demande a des physiciens mais j'ai pas bien compris les reponses, alors si un mathematicien qui y a compris qq chose pouvait m'expliquer, ce serait sympa. Je precise ma question:

Soit L une application lineaire (continue ou non) d'un espace de Hilbert H dans lui meme, soit z un nombre complexe et soit I l'identite de H. Si l'application (L-zI) est inversible et si son inverse est continue, on dit que z est un point regulier pour l'operateur L. Sinon on dit que z est dans le spectre de L. La forme du spectre d'un operateur est tres variable, si L est une application lineaire en dimension finie le spectre est l'ensemble des valeurs propres, si L est l'operateur differentiel -d^2/dx^2, condition initiale y(0)=0, avec H=fonctions de carres integrables sur [0,+infini) il n'y a pas de valeur propre, le spectre est continue et recouvre [0,+infini).

En physique on dit que les valeurs propres de l'Hamiltonien sont les etats stationaires de l'enegie. Meme ca j'ai du mal a faire le rapport. Valeurs propres pour l'energie d'un atome d'hydrogene= orbites de l'electron? Quels sont les significations "relles" du spectre (ou de ses composantes) dans des examples concrets? Si qqun pouvait me donner des examples, triviaux ou non, ou m'indiquer ou on peut trouver des examples comprehensibles par un matheux, ca m'aiderai beaucoup.
Merci d'avance.

[khivapia]

En physique (quantique notamment) on étudie le hamiltonien, une application linéaire.

Un principe est que quand on fait une mesure sur par exemple un atome d'hydrogène on le trouve dans un certain état dont l'énergie est dans le spectre du Hamiltonien. Comme personne ne peut voir d'atome d'hydrogène, ce qu'on fait c'est qu'on lui envoie des photons (de la lumière) pour le faire changer de niveau d'énergie (typiquement l'électron qui reçoit le photon change d'orbite), et il passe d'un niveau d'énergie à un autre, qui sont tous deux valeurs propres du hamiltonien.

Le hamiltonien ayant un spectre discret (non continu), les électrons ne peuvent donc absorber que des photons d'énergie bien précise (donc de longueur d'onde bien fixée).



Par ailleurs, les physiciens ne font en général pas souvent attention aux différences subtiles entre spectre et valeurs propres, souvent ils considèrent des fonctions "suffisamment régulières" pour leurs besoins, genre dérivables, continues etc. et font des opérations un peu bizarres sans prendre toutes les précautions d'usage en mathématiques.