Sous-suites paires et sous-suites impaires !

[forza]

Je voyait le bout du DM arrivait mais cette question me bloque ;-)

On a U0=0 et Un+1 = Un²+A

Ici on suppose que A est un reel avec -1
Montrez que la suite ( U2n) est decroissante et que (U2n+1) est croissante

J'ai essayer de calculer U2n+2-U2n mais j'arrive sur des carrés de soous suites impaires pas top je pense

J'ai essayer par recurrence :
Je suppose que U2n+2>U2n

Je montre que U2n+4>U2n+2

Meme probleme enfin selon moi ;-)

Quelqu'un peut t'il m'aider ?

Merci d'avance

[Nightmare]

Bonsoir

Par exemple :


Ainsi :


Soit X²+X+A²+A le polynôme d'indeterminée X.
Son discriminant vaut -4A(A+1)
Or lorsque -1<A<0, ce discriminant est négatif et donc le trinôme est positif.

Conclus

[BQss]

[quote="Nightmare"]Bonsoir

Par exemple :


Ainsi on pose X=u(n)^2 :


Soit X²+X+A²+A le polynôme d'indeterminée X.
Son discriminant vaut -4A(A+1)
Or lorsque -1 A -1|X+A|0<(X+A)^2<-A donc finalement :
A<(X+A)^2+A<0 soit -1<A<u(2n+2)<0



Ce qui acheve la recurrence. C'est a dire que tout u2n est compris entre A et 0.



Par contre je viens de voir il me semble que meme si u2n est compris entre A et 0 le polynome peut etre positif, donc il faudrait encore resteindre l'intervalle ou alors utiliser une autre methode.

Bon j'me taillos a plus.

[fahr451]

la méthode est générale peu importe l'expression de f ;
f(x) = x^2+ A
u(n+1) = f(u(n)) en prenant I = [-1,0]
I est stable par f ( f(I) inclus ds I) u(0) est dans I ,donc u est à valeurs dans I
f décroit sur I mais g = f0f croit sur I et les sous suites v(n)= u(2n) et
w(n) = u(2n+1) vérifient la relation
v(n+1)= g(v(n)) ; w(n+1) = g(w(n)) ;
I est stable par g ; g croit sur I donc v et w sont monotones (monotonie inverse) .

pour savoir si v croit il suffit de comparer v(1) = u(2) à v(0) = u(0).

[forza]

C dans la question suivante qu'il parle de fof donc je ne pense pas qu'il faille utiliser cette methode !!

Avec le discriminant ou avec la recurrence ! Cela ne fonctionne t'il pas ? car a la fin BQss tu as sous entend que ce que tu avais fait étais pas bon car le polynome pouvait etre positif, j'ai pas compris cela

[fahr451]

ce que j'ai dit n'est malheureusement pas correct car[-1,0] n'estpas stable par f . donc on ne peut pas utiliser la monotonie de f
en revanche
I =[A,0] est stable par f et on est sauvé.

[fahr451]

->forza bien sûr la récurrence c'est la méthode que je propose (elle est générale)

I= [A,0] est stable par f c 'est le point essentiel
u(0) est dans I on montre par récurrence (immédiate) u(n) dans I
v,w sont dans I (stable par f )et comme g croit on montre qu'elles sont monotones.
par récurrence sur n on montre v(n+1) =on vérifie pour n = 0 et ensuite en le supposant pour n en appliquant g croissante sur I on a le résultat pour n+1.

si tu ne veux pas utiliser g utilise donc f puis encore f ...
Le seul point qui compte c 'est avoir I stable par f sur lequel f est décroissante.

[BQss]

la méthode est générale peu importe l'expression de f ;
f(x) = x^2+ A
u(n+1) = f(u(n)) en prenant I = [-1,0]
I est stable par f ( f(I) inclus ds I) u(0) est dans I ,donc u est à valeurs dans I
f décroit sur I mais g = f0f croit sur I et les sous suites v(n)= u(2n) et
w(n) = u(2n+1) vérifient la relation
v(n+1)= g(v(n)) ; w(n+1) = g(w(n)) ;
I est stable par g ; g croit sur I donc v et w sont monotones (monotonie inverse) .

pour savoir si v croit il suffit de comparer v(1) = u(2) à v(0) = u(0).

Ca me revient maintenant, on avance par collimasson de part et d'autre du point fixe en s'en rapprochant. On peut meme dire que si la courbe est au dessus de x sur I stable alors la fonction est croissante.

[forza]

j'ai compris ;-) merci bcp a vous 2 !!!!!

[BQss]

Ca me revient ta methode fahr , on avance en collimasson de part et d'autre du point fixe en s'en rapprochant et on a meme quand I stable et f au dessus de y=x --> un croissante..