Somme de sinus (nombres complexes)

[Les3Mousquetaires]

Bonjour,
J'ai un problème avec l'exercice suivant. Voici l'énoncé : n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Calculer sin (2 k / n )
J'ai remplacé le sinus par la partie imaginaire avec la forme exponentielle. J'obtiens donc une suite géométrique.
Mais en appliquant la formule de la somme d'une suite géométrique, je bloque....
Pouvez-vous m'aider s'il-vous-plait ?
Merci d'avance.

[Kolis]

Bonjour !
Montres -nous tes calculs. Où se situe ton blocage ?

[Les3Mousquetaires]

bonjour, j'ai fait
sin(2kpi)/n) = Im ( exp (i2kpi)n = Im ( (exp (i2kpi))/n)
puis je fais ((exp (i2pi))^k
ensuite c'est une suite géométrique de raison e (i2pi/n) mais en appliquant la formule d'une suite géométrique ça bloque...

[aymanemaysae]

Bonjour,

Vous êtes sur le bon chemin.

Soit









Maintenant, vous avez la formule suivante:

: .

qui si vous l'utilisez , vous pouvez conclure facilement .

Bon courage .

[Les3Mousquetaires]

Ok je te remercie d'avoir pris de ton temps, c'est cool par contre la dernière formule je ne sais pas d'où elle vient (pas étudié )..

[Lostounet]

Hello. Prenons par exemple n = 8
Cela signifie que n+1=9

Divisons un cercle de 2pi radians en 8 parts égales. Cela donne la configuration suivante:



B(1 ; 0)

Et puis par lecture du cercle trigonométrique, chaque point du cercle a des coordonnées de la forme (cos(angle); sin(angle)).

Par exemple, le point C a pour coordonnées

Le point D(cos(pi/8);sin(4pi/8)) = D(0;1)

Le point E(cos(6pi/8); sin(6pi/8)


Si tu fais la somme de toutes les ordonnées des points, tu retrouves la somme suivante:

S = sin(2pi/8) + sin(4pi/8) + sin(6pi/8) + .... sin(14pi/8) ... elle ne te rappelle rien?
Et l'on voit bien que les ordonnées se compensent deux-à-deux (E et G ont des ordonnées opposées).

Cette somme vaut donc...?

[aymanemaysae]

Bonsoir,

J'aime bien la méthode d'expliquer de M.Lostounet, et comme on dit: un exemple vaut mieux

qu'un long discours.

Pour la formule que j'ai précitée voici son origine:



.