Somme et série

[NathanK]

Bonjour je séche sur un exercice, voilà l'énoncé :
Soit U0 compris dans ]0;1[. On pose pour tout n appartenant à N, Un+1 = Un - Un².
1) Montrer que pour tout n appartenant à N, 0<Un<1, puis que la suite (Un) converge vers 0.
2) Montrer que la série de terme général Un² converge et calculer sa somme.

Pour la 1) j'ai fait une récurrence et je trouve que 0<Un+1<1 donc ok. Pour montrer qu'elle converge vers 0 il faudrait que la suite soit décroissante or je ne trouve pas (je pense que c'est vraiment tout bête)

Pour la 2) je ne vois pas du tout comment faire, dire que Un² = Un - Un+1 ?

[infernaleur]

Salut,

1) bha ...

2) tu as une somme télescopique, donc calculer les sommes partielles ça ne devrait pas être compliqué.

[NathanK]

Ah bah oui c'est tout bête, j'étais un peu perdu dans ma tête ahah.

Par contre pour la 2) je ne vois pas trop comment faire

[GaBuZoMeu]

Par contre pour la 2) je ne vois pas trop comment faire

Puisque, comme tu l'écris, pour tout entier naturel , on a :

[NathanK]

Du coup : U0² + U1² +... + Un² = U0 - Un+1 ?

[GaBuZoMeu]

Pourquoi le point d'interrogation ? Tu n'es pas sûr ?
Tu as compris ce que veut dire "somme téléscopique" ?
Tu as résolu la question 2) ?

[NathanK]

Oui je ne suis pas sûr. Non pas vraiment, et non du coup

[GaBuZoMeu]

Oh la la, ça ne va pas fort aujourd'hui ! Rebranche tes neurones !
Pour la notion de somme téléscopique, tu peux voir ici.

[NathanK]

Ok, donc U0² + U1² +... + Un² = U0 - Un+1 c'est bon.
Ca veut dire que U0² + U1² +... + Un² tend vers 0 comme la suite (Un) ?

[GaBuZoMeu]

Nan, tu n'as pas encore rebranché tes neurones !

Tu sais que .

Peux tu en déduire ?

Je me dis aussi qu'il ne serait peut-être pas inutile que tu revoies la définition de la convergence d'une série.

[NathanK]

Ohlalalalalalala la catastrophe, j'étais complètement perdu désolé... Bah oui, la série Un² converge et la somme est égale à U0. Désolé pour ma bêtise ahah et merci encore pour ton aide !

[mathelot]

Bah oui, la série de terme général Un² converge