Somme de série

[MacManus]

Bonsoir

J'aimerais calculer la somme de la série .

s.o.s

[ft73]

tu veux vraiment la somme ou juste la convergence ?

[girdav]

Bonjour,
on trouve des truc sympas [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_êta_de_Dirichlet]ici[/url] et là.

[MacManus]

Bonjour, merci pour vos réponses.

Je sais que cette série converge, en utilisant le "critère des séries (régulièrement) alternées".

--> On demande dans l'énoncé de donner cette somme à 0.15 près en calculant le moins de termes possibles.

Alors j'ai utilisé Matlab pour voir le résultat.
Maintenant si je souhaite faire des calculs à la main et en supposant que je connaisse pas la fonction eta de Dirichlet, je ne sais pas trop comment m'y prendre.

[girdav]

L'énoncé ne demande pas un calcul exact. Tu peux chercher tel que la -ième somme partielle de la série soit une approximation à près. On espère que ce ne soit pas trop grand.

[MacManus]

Mais comment trouver ce ?

[girdav]

Pour un entier non nul, on note .
On montre que les suites et sont adjacentes. Je crois que l'on peut contrôler la valeur absolue du reste d'ordre en fonction de .

[MacManus]

oui d'accord pour l'écriture de .

j'avais coupé cette série en deux selon que n est pair ou impair et j'essayais de trouver du "télescopique" .... Si et sont adjacentes, elles convergent vers la même limite et on peut encadrer cette limite.

oui le reste est majoré par non ? enfin je pense que cela revient au même, du moment que n > m

[girdav]

On peut écrire en notant S la somme de la série que puis ce qui donne une estimation du reste pour les sommes partielles sur un nombre de termes impairs. On peut en trouver une pour les nombres impairs.