SOMME Serie CSSA

[lifo90]

Bonjour,

Voici la première partie de mon énoncé :
1. Etablir la convergence de la série Somme (-1)^n / (2n+1)
Est elle absolument convergente ?

2. Verifier : (t un réel)

somme(0 à n) de (-1)^k * t^2k = 1/(1+t²) + (-1)^n * (t^2n+2)/(1+t²)

3. Calculer integrale 1/(1+t²) dt


Je n'arrive pas à avancer, je vous fais donc appel.
Pour la question 1, cela revient à la somme 1/(2n+1), mais je ne parvient pas à montrer si elle converge.
Pour la question 2, je ne comprend absolument pas.
Pour la question 3, ça parait simple mais je ne trouve pas la primitive.

Merci

[pascal16]

Etablir la convergence de la série Somme (-1)^n / (2n+1)


on fait la somme de deux terme consécutifs pair (appelons-le 2p) puis impair (2p+1):

soit (-1)^2p / (2*2*p+1)+ (-1)^(2p+1)/(2*2*p+1+1) = ....
est de la forme "... /p²" donc convergent.
la somme quand on s’arrête à un terme impair converge
comme la différence entre la somme des termes paires et la somme ne diffère que de 1/ (2n+1) en valeur absolue, on a bien la convergence

2/ Quand on a la réponse, on est sur d'y arriver par récurrence

[Rdvn]

Bonjour
Pour la première question, outre la méthode indiquée par pascal16, on peut utiliser le critère de convergence des séries alternées .
Puis pour montrer que la série de terme général 1/(2n+1)diverge, on peut utiliser le critère de comparaison d’une série et d’une intégrale (ici l’intégrale de f définie par f(x)=1/(2x+1), bornes à préciser)
Pour la question 2 on peut observer (-1)^k*t^2k=(-t^2)^k et utiliser une série géométrique.
Pour la dernière il y a effectivement une primitive « classique » :
https://www.math.u-bordeaux.fr/~cdubuis ... 013%29.pdf
Bon courage