Sommation et changement d'indice

[Sheigh]

Bonjour, voici mon énoncé:

Somme (n,k=2)ln(1-1/k^2)

Je développe ln et factorise, ce qui me donne finalement :
Somme (n,k=2) ln(k-1) +Somme (n,k=2) ln(k+1)-2 Somme (n,k=2) ln(k)

Je procède à un changement d'indice, ce qui fait :
Somme (n,k=2) ln(k+1) = Somme (n+1,k=3) ln(k)=
Somme (n,k=2)ln(k-1) = somme (n-1, k=1) ln(k)

donc :
Somme (n-1,k=1)ln(k)+Somme (n+1,k=3)ln(k)-2 Somme (n,k=2) ln(k)
ensuite j'ai un peu de mal, je sais qu'ils ont en commun Somme (n-1,k=3)ln (k) qui s'annulent,

mais je ne suis absolument pas au clair de la façon de procéder :
Somme (n+1,k=3)ln(k) = Somme (n-1,k=3)ln(k)+ln(n)+ln(n+1)
Somme (n-1,k=1)ln(k) =Somme (n-1,k=3)ln(k) +ln(n-1)+ln(n)
Somme (n,k=2)ln(k) = Somme (n-1,k=3)ln(k) +ln(2)+ln(n)
d'où : ln(n+1)-ln(n-1)-2ln(2)

Merci par avance de vos explications.

[pascal16]

ln(n+1)-ln(n-1)-2ln(2) ou ln(n+1)-ln(n-1)-ln(2) ?

ln(n+1)-ln(n-1)-ln(2) = ln ((n+1)/(2n))


Somme (n,k=2) ln(k-1) +Somme (n,k=2) ln(k+1)-2 Somme (n,k=2) ln(k)

on sépare en deux
Somme (n,k=2) ln(k-1) - Somme (n,k=2) ln(k)
changement d'indice
Somme (n-1,k=1) ln(k) - Somme (n,k=2) ln(k)
on sort les termes qui ne sont pas communs aux deux sommes
ln(1) + Somme (n-1,k=2) ln(k) - ln(n) - Somme (n-1,k=2) ln(k)
on a deux sommes identiques, elles disparaissent
ln(1)-ln(n)

pareil pour
Somme (n,k=2) ln(k+1)- Somme (n,k=2) ln(k)
...
ln(n+1)-ln(2)

[hdci]

Bonjour,

Sans l'écriture Tex, c'est difficile à lire, je vais essayer de reprendre :
Il s'agit de manipuler / simplifier



Vous écrivez



Ce qui permet d'obtenir



Puis vous procédez à un changement d'indice pour n'avoir que du logarithme de k:

• pour la première somme, on a k-1 pour k allant de 2 à n, donc k-1 va de 1 à n-1
• pour la seconde, k+1 va de 3 à n+1

D'où



Est-ce bien cela ?

Après, la simplification est la suivante : pour chacune des sommes, on isole les indices qui sont spécifiques et on conserve les indices communs dans une "grande somme".

• La première somme va de 1 à n-1
• La seconde va de 3 à n+1
• La troisième va de 2 à n

La partie commune c'est donc ce qui va de 3 à n-1. On "sort" les termes 1 et 2 de la première somme, on "sort" les termes n et n+1 de la seconde somme, et on "sort" les termes 2 et n de la troisième somme : cela donne (j'ai séparé par des espaces les trois sommes)



Il n'y a plus qu'à regrouper les termes : notamment dans les sommes de 3 à n-1, on voit que cela fait , il reste donc (en calculant )




(PS : j'ai mis trop de temps pour écrire, coiffé au poteau par pascal16...)

[Sheigh]

Bonjour à tous,

Je vous remercie grandement, ce fut très bien expliqué, surtout à partir de cette étape :

La partie commune c'est donc ce qui va de 3 à n-1. On "sort" les termes 1 et 2 de la première somme, on "sort" les termes n et n+1 de la seconde somme, et on "sort" les termes 2 et n de la troisième somme : cela donne (j'ai séparé par des espaces les trois sommes)

qui m'échappait toujours, me reste plus qu'à m'entraîner pour voir si j'ai bien tout compris.