Sev supplémentaire

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yuna-33
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Sev supplémentaire

par yuna-33 » 05 Mar 2010, 13:19

Bonjour à tous !
J'aurais besoin d'aide pour un exercice !
Il fallait dans un premier temps montrer que F={f appartient à E / f(a)=0} est un sev de E ( E espace vectoriel de R dans R).
Ca c'est ok.

Il faut ensuite trouver un supplémentaire de F dans E, c'est à dire montrer qu'un supplémentaire de F est l'ensemble des fonctions constantes...
D'après moi, je reviens à la définition et dois montrer que :
- F et G sont deux sev de E
- F inter G = {Oe}
- F + G = E

Est-il juste de poser G = {f(x)=a, a appartient à R} ou faut il choisir un réel fixé autre que a, puisqu'il est dans F ?
Sinon, à partir de ce supplémentaire je ne vois pas comment montrer les trois points...

Merci d'avance si quelqu'un peut m'aider !



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Ben314
Le Ben
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par Ben314 » 05 Mar 2010, 13:45

yuna-33 a écrit:Est-il juste de poser G = {f(x)=a, a appartient à R}
Non, il y a plusieurs choses qui ne vont pas :
1) 'a' est effectivement déjà utilisé pour autre chose.
2) Si je "prononce" ton début de définition : G={f(x)=a...} cela donne "G est l'ensemble des f(x )=a...". Je ne vois pas ce que cela peut vouloir dire.
A la limite, je comprendrait ce que veut dire "G est l'ensemble des x tels que f(x)=a", mais ce n'est surement pas ça, vu que c'est un ensemble de réels (alors que G est un ensemble de fonctions) et qu'il n'y a aucune fonction f définie dans ton exercice.
Bon, revenons à l'énoncé, il dit que "G est l'ensemble des fonctions constante" ce qui est bien suffisant pour travailler avec. Si on voulait quand même écrire G={..., il suffirait de traduire la phrase ci dessus en symboles.
Comme l'ensemble des fonction de R dans R est appelé E dans l'exercice, on a :
G={f appartient à E / f est constante}
Si on veut, on peut aussi traduire le "f est constante" en prenant la définition : "il existe un réel b tel que, pour tout x dans IR on ait f(x)=b".
Cela donnerais :
Sauf que, au fond, je vois pas bien ce que ça apporte de plus (ou de moins) par rapport à la phrase de départ "G est l'ensemble des fonctions constante"

Résumé de tout ça, le "symbolisme mathématique", c'est pratique pour économiser de l'encre et des fois, pour clarifier les choses qui sont compliquées à dire en français, mais il ne faut pas écrire n'importe quoi !!!

Pour revenir à ton exo, il faut effectivement montrer les trois points dont tu parle.
Tu as déja montré que F est un sous espace vectoriel. Montre de même que l'ensemble des fonctions constantes en est un (on peut parfaitement le faire avec uniquement des phrases en français)
Pour le deuxième point, tu considère une fonction f qui est à la fois dans F et dans G : elle vérifie donc la définition de F et, en plus, elle set constante donc....
Pour le troisième point, tu part d'une fonction quelconque f. Il faut que tu montre que l'on peut trouver une fonction g de F (c'est à dire vérifiant g(a)=0) et une fonction constante h telles que f=g+h. ce n'est pas vraiment dur.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

yuna-33
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par yuna-33 » 05 Mar 2010, 14:42

Merci pour la réponse :)

 

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