Séries de Fourier

[Trident]

Bonjour à tous, j'ai un peu de mal pour un exo sur les séries de Fourier.

Soit f la fonction définie pour tout x réel par .
QUESTION 1] Calculer la série de Fourier de f, quelle convergence a-t-on?

J'ai calculé sa série de Fourier et trouvé : .

Le résultat est bon. Donc du coup, la fonction f étant de classe C^1 par morceaux sur R, alors elle est égale à sa série de Fourier presque partout. Mais de plus, f étant continue sur R, on peut affirmer que pour tout x réel, on a :


et de plus la convergence est normale (théorème du cours : si f est continue et C1 par morceaux, la convergence de sa série de Fourier est normale).

QUESTION 2]

Soit g : R -> C une application 2pi périodique et intégrable sur . Pour tout n dans N*, on note :
et

Le but est de montrer que

a) Pour un réel fixé, montrer qu'il existe un entier tel que pour tout entier , on ait :



J'ai essayé de remplacer |sin(nt)| par sa série de Fourier mais je n'aboutit à rien.

b) Conclure sur la limite.

Là aussi je vois pas, pourtant je vois qu'il faut revenir à la définition et montrer que pour tout , il existe un N tel que pour tout n > N, .


Merci d'avance pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,

1) Si tu mettait des "somme de k=1 à l'infini" dans tes séries de fourrier, ça serait un tout petit peu plus... juste... (ça m'étonnerais fort que |sin(x)| soit égal à un polynôme trigonométrique).

2) Ton inégalité |Jn-J| inférieur à... où le terme de droite de l'inégalité ne dépend absolument pas du n (le N ne dépand pas de n vu ta formulation), j'ai de très gros doute concernant la validité d'une telle formule et... encore plus de doute concernant le fait qu'elle puisse permettre de déduire quelque chose lorsque n tend vers l'infini vu que tu majore par quelque chose qui dépend pas de n.

3) Je pense qu'à la fin, c'est un |Jn-J| et pas un In (mais ça c'est une faute de frappe...

[Robic]

C'est vraiment f(x) = |sin x| sur R ? Ça ne m'a pas l'air très périodique... (par exemple ce qui se passe en 0 - c'est continu mais pas dérivable - ne se produit nulle part ailleurs).

----
Edit : je dis n'importe quoi, je me suis trompé de fonction...

[Trident]

Salut,

1) Si tu mettait des "somme de k=1 à l'infini" dans tes séries de fourrier, ça serait un tout petit peu plus... juste... (ça m'étonnerais fort que |sin(x)| soit égal à un polynôme trigonométrique).

2) Ton inégalité |Jn-J| inférieur à... où le terme de droite de l'inégalité ne dépend absolument pas du n (le N ne dépand pas de n vu ta formulation), j'ai de très gros doute concernant la validité d'une telle formule et... encore plus de doute concernant le fait qu'elle puisse permettre de déduire quelque chose lorsque n tend vers l'infini vu que tu majore par quelque chose qui dépend pas de n.

3) Je pense qu'à la fin, c'est un |Jn-J| et pas un In (mais ça c'est une faute de frappe...

Que de fautes de frappes... J'ai corrigé en éditant le message !

@Robic :

pour tout x réel , f(x+2pi) = |sin(x+2pi)| = |sin(x)| = f(x) par 2 pi périodicité de la fonction sin (c'est même pi périodique).

[Robic]

Houlà, oui, tu as raison... J'avais dessiné la mauvaise fonction ! (J'ai commencé par faire un dessin, mais bêtement j'ai dessiné sin|x|...)

[Trident]

Houlà, oui, tu as raison... J'avais dessiné la mauvaise fonction ! (J'ai commencé par faire un dessin, mais bêtement j'ai dessiné sin|x|...)

Ok ! :we:

Du coup, une idée ?

[Ben314]

Pour le a), vu que ta série converge normalement, quelque soit , il existe un entier (ne dépendant que de ) tel que :


Et tu peut donc appliquer ça pour avec n et t absolument quelconques. (et il y a encore une faute de frappe dans ton énoncé du a) où c'est du cos(2knt) et pas du cos(2knx)...)

Et pour la fin tu utilise un truc style Riemann-Lebesgue ou autre concernant le noyau de poisson pour dire que, quelque soit la valeur de l'entier k,

Si c'est pas la forme exacte d'un théorème que tu as en cours, fait le changement de variable dans l'intégrale...

[Trident]

Merci Ben.

Mais justement, pour la a), j'avais exactement écrit ceci en utilisant le fait que la convergence normale impliquait la convergence uniforme vers x -> |sin(x)| de la suite des somme partielles de la série de Fourier. Donc on avait justement l'existence d'un rang N à partir duquel l'inégalité que tu proposes est satisfaite. Et donc, en particulier vraie pour ce rang N.

Mais je voyais pas le rapport entre la majoration de ceci et du |Jn - J|.

D'accord pour la b), j'avais pas pensé au Lemme de Lebesgue-Riemann.

Donc en gros, en posant I= l'intégrale entre [-pi;pi] de |g(t)|dt (qui existe car g est intégrable sur l'intervalle [-pi;pi]), on a I > 0 car |g| l'est et puis comme avec , pour n assez grand , on a puis par somme on conclut ? [il doit manquer de la valeur absolue plus haut mais bon c'est qu'un oublie].

Mais bon, mon n'est pas forcément strictement positif. :mur:

[Trident]

Ah mais non, Riemann-Lebesgue marche pas car il faut que la fonction g soit continue non ?
Enfin, dans notre cours, c'est présenté comme ça. Intégrable doit sûrement marcher.

[Trident]

C'est bon, j'ai tout réussi en fait.

[Ben314]

Je sais pas si tu à modifié, mais ça :

avec

C'est un peu n'importe quoi vu que tu sort d'une somme sur k un truc qui dépend de (à savoir l'intégrale avec du cos(2knx) dedans.
Il faut garder la somme finie telle quelle est faire tendre n vers l'infini : chaque intégrale tend vers 0 et la somme finie (de k=1 à N) tend vers 0.

[Trident]

Ouais Ben j'ai modifié. C'était en effet n'importe quoi car je réflechissais en même temps que j'écrivais en latex.