sauriez-vous comment montrer que
merci
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par Ben314 » 08 Déc 2009, 16:51
Il y a des tas de méthodes mais aucune à la fois élémentaire et rapide.
Pour avoir une preuve "rapide", le niveau 'mini' est celui des séries de fourrier. Encore plus simple (et généralisable) avec les fonctions analytiques et le théorème des résiduts.
Si tout cela ne te dit rien, on peut essayer de trouver un exercice de niveau plus élémentaire pour le démontrer (évidement, c'est plus long...)
Niveau environ Bac+2, le sujet du CAPES 2009 donne une façon (pas la plus rapide) d'obtenir le résultat.
Pour avoir une preuve "rapide", le niveau 'mini' est celui des séries de fourrier. Encore plus simple (et généralisable) avec les fonctions analytiques et le théorème des résiduts.
Si tout cela ne te dit rien, on peut essayer de trouver un exercice de niveau plus élémentaire pour le démontrer (évidement, c'est plus long...)
Niveau environ Bac+2, le sujet du CAPES 2009 donne une façon (pas la plus rapide) d'obtenir le résultat.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Pythales » 08 Déc 2009, 17:24
Voici comment Euler a trouvé (je ne dis pas démontré) la fameuse formule 
:
Soit l'équation
de racines 
. Il est facile d'établir que 
Soit à présent l'équation
dont les racines sont 
. L'équation 
a donc pour racines 
et on aura d'après ce qui précède 
, d'où la formule en question.
Soit l'équation
Soit à présent l'équation
par Nightmare » 08 Déc 2009, 17:25
Salut :happy3:
Une méthode "élémentaire" mais peu rigoureuse trouvée par Euler est d'écrire le Dl de sin(x), de le diviser par x et de remarquer que le terme en x² n'est autre que la somme recherchée à un facteur multiplicatif près !
Une méthode "élémentaire" mais peu rigoureuse trouvée par Euler est d'écrire le Dl de sin(x), de le diviser par x et de remarquer que le terme en x² n'est autre que la somme recherchée à un facteur multiplicatif près !
par Nightmare » 08 Déc 2009, 17:25
Wow, désolé Pythales, les grands esprits se rencontrent (un peu prétentieux comme phrase..)
par Ben314 » 08 Déc 2009, 17:38
Conclusion :
à partir d'orénavant, j'écrirait :
"Il y a des tas de méthodes mais aucune à la fois élémentaire et rapide et rigoureuse"
Je ne connaisait pas la méthode "historique" d'euler -> merci pythales et nightmare.
Je pense qu'avec un peu de travail d'analyse (désagéable mais pas trés astucieux) on doit pouvoir rendre la preuve rigoureuse ??
à partir d'orénavant, j'écrirait :
"Il y a des tas de méthodes mais aucune à la fois élémentaire et rapide et rigoureuse"
Je ne connaisait pas la méthode "historique" d'euler -> merci pythales et nightmare.
Je pense qu'avec un peu de travail d'analyse (désagéable mais pas trés astucieux) on doit pouvoir rendre la preuve rigoureuse ??
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par girdav » 08 Déc 2009, 19:22
Salut.
Une preuve que je tire de mon livre d'intégration.
Démontre que pour une fonction
intégrable sur 
e^{inx}dx =0d)
puis cherche
et 
tels que \cos \(nx\)dx =\fr 1{n^2})
.
Mais après, il faut connaître la convergence uniforme...
Une preuve que je tire de mon livre d'intégration.
Démontre que pour une fonction
puis cherche
Mais après, il faut connaître la convergence uniforme...
par Ben314 » 08 Déc 2009, 19:59
En plus, c'est un peu "des séries de fourrier sans le dire"....
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par ffpower » 08 Déc 2009, 20:10
Pour rendre rigoureuse la preuve d'Euler, je pense qu'il faut utiliser des résidus pour montrer des analogues des relations racines/coefficients pour les fonctions holomorphes sur des grands disques (un peu comme la formule de Jensen), avec un reste qui tendrait vers 0. Mais j'ai jamais eu le courage d'essayer
par Ben314 » 08 Déc 2009, 20:21
C'était pas l'idée que j'avais en tête.
Je pensait à des méthodes plus ou moins à la main pour évaluer la différence entre les solutions de sin(x)=0 et de S_n(x)=0 où S_n est la somme partielle d'ordre n de la série du sinus.
Je me demande si je n'ai pas déjà vu ce type d'approximation...
Je pensait à des méthodes plus ou moins à la main pour évaluer la différence entre les solutions de sin(x)=0 et de S_n(x)=0 où S_n est la somme partielle d'ordre n de la série du sinus.
Je me demande si je n'ai pas déjà vu ce type d'approximation...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par ffpower » 08 Déc 2009, 20:47
Runge,peut-etre?Ce qui ferait qu on en revient aux fonctions holomorphes
par Pythales » 08 Déc 2009, 20:58
Voici une demonstration parmi d'autres.
Je pars de :^{2p+1}=\cos(2p+1)t+i\sin(2p+1)t)
soit :t)
où :t}{\sin^{2p+1}t})
ce qui montre que les nombres
sont racines de :^pC^{2p+1}_{2p+1}=0)
d'où :}{3})
et comme
on en déduit facilement que }{3})
Il reste à remarquer que
d'où ^2}{k^2\pi^2}<\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{2p+1}})
et par sommation :}{(2p+1)^2}<\sum^p_1\frac{1}{k^2}<\frac{\pi^2}{6}\frac{2p(2p+2)}{(2p+1)^2})
d'où la formule lorsque
Je pars de :
soit :
où :
ce qui montre que les nombres
d'où :
et comme
Il reste à remarquer que
et par sommation :
d'où la formule lorsque
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