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par **bitonio** » 28 Déc 2007, 14:49

Bonjour,
je bloque sur un truc sûrement évident... mais j'ai peur de marquer une connerie...

Soit

On montre facilement que

converge uniformément. Peut on pour autant dire directement que

(qui existe) est continue ? Ca me parrait bien trop simple ...

Merci d'avance

par **ThSQ** » 28 Déc 2007, 15:16

bitonio a écrit:Ca me parrait bien trop simple ...

Cherche pas plus compliqué

par **Joker62** » 28 Déc 2007, 15:18

Si tout les f_n sont continus
et si ça converge uniformément, alors la somme est continue.

La démo se fait avec les suites de fonctions, c'est assez évident à voir

par **bitonio** » 28 Déc 2007, 15:20

ThSQ a écrit:Cherche pas plus compliqué

Chouette :we: Merci !

par **bitonio** » 28 Déc 2007, 15:51

Une autre question qui me vient à l'esprit.

Sous quelles conditions (aucune?) peut on dire que la dérivée d'une somme infini est la somme infini des dérivées ?

par **Joker62** » 28 Déc 2007, 15:59

Alors on se donne une série de fonction

définie sur

s'il existe un

tel que

converge et que la série dérivée

converge uniformément vers une fonction g

alors,

converge uniformément vers une fonction f et on a f' = g

Il faut de plus que

par **bitonio** » 28 Déc 2007, 16:15

Pas sûr d'avoir compris...

Je souhaite montrer que

on a

On a

donc on a le droit de dériver la somme infinie ?

par **Joker62** » 28 Déc 2007, 16:23

C'est vrai que c'est tordu comme théorème
Une façon plus claire :

Si une série de fonction et la série de ses dérivées sont uniforméments convergente sur un intervalle, alors la somme de la série est dérivable et sa dérivée est égale à la somme de la série des dérivées.

converge uniformément vers f

converge uniformément vers g

alors on a f est dérivable et f' = g

Dans ton exemple, on a le droit, car la série et la série dérivée convergent uniformément.

qui converge uniformément vers

La série

converge uniformément également vers une fonction g

On a f' = g
C'est à dire,

Edit : Juste comme ça, tu es dans le cas des séries entières ici, tu as le droit de dérivée autant que tu veux dans le disque de convergence sans te poser de question. Les fonctions développable en série entière sont en particulier C^oo dans leur disque de convergence.

par **bitonio** » 28 Déc 2007, 16:35

On a pas encore clairement fait les DSE cette année, le prof ne veut pas en entendre parler :hum: (on avait vu ça en sup)

Merci, je comprend enfin ce théorème (qui dans mon cours était aussi énigmatique que ton premier post ! :ptdr: )

par **Joker62** » 28 Déc 2007, 16:36

J'pense qu'on est nombreux à en avoir bavé sur ce théorème lol
J'préfère la version simplifiée :)

Allez bonne journée, j'vais aller m'détruire à auchan :^)

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