Série

[daisuke]

Bonjour j'aimerais quelques questions pour savoir si je suis sur la bonne voie pour faire mon exercice dont voici l'intitulé:

Soit la série de terme général:
Pour tout n appartenant à N* Un= Intégrale de [(Sin x)/x] de n.Pi à (n+1)Pi

a/ Montrez que cette série est alternée
b/ Montrer que la suite (|Un|) est décroissante
c/ Montrer que la suite convergence (|Un|) est convergente vers 0
d/ En déduire que la série Un pour tout n appartenant à N* est convergente


Voici mes questions
Pour la partie a j'ai répondu que selon la valeur de n, Un était soit négatif (pour n impair) soit positif (pour n pair), cela suffit il pour dire que la série est alternée?
Pour la question b j'ai calculé Un-1 - Un<0 donc elle est décroissante
Pour la question c (|Un|) est décroissante et minorée par 0 donc converge vers 0
Et pour la question d je ne vois pas comment en déduire

Merci d'avance pour vos conseils et réponses

[fahr451]

bonsoir

il y a une définition précise pour série alternée et c 'est exactement

a) b) et c) (les trois)

a) est uniquement alternée en signe ce que tu dis est correct : alternée en signe

b) l u(n) l décroit signifie l u(n+1) l =< l u(n) l
ce n est pas ce que tu fais

c) est faux

décroissante minorée par 0 n'implique pas que la limite est 0

d) est justement la conclusion du critère des séries alternées

on montre que S(2n) et S(2n+1) sont deux suites adjacentes

avec S(n) somme partielle de rang n de la série

[daisuke]

dans ce cas comment peut on démontrer b?

encore merci pour ces renseignements

[mathelot]

la question (b) résulte d'une étude de signe de
Trace un cercle trigonométrique.
on voit immédiatement que
sin a le signe de sur
l'intégrande (la fct à intégrer) étant de signe constant sur l'intervalle d'intégration:

la suite de terme général est donc décroissante.

[daisuke]

je suis désolé d'encore vous embêter

je remercie Mathelot pour son aide

mais pour la question c je tente de prouver que la limite est donc 0
en reprenant le changement de variable de mathelot c'est à dire

Peut on dire la limite du terme intégré est aussi la limite de l'intégrale?

[mathelot]

d'où: