Série

[zork]

bonjour

comment calculer:

j'arrive à après simplification et la série ne converge pas alors qu'elle le devrait

comment déterminer la nature;
j'ai pensé au produit de cauchy mais a ne marche pas car n'est pas absolument convergente

merci

[zork]

je ne sais pas pourquoi j'ai f(x)=x²
en faite j'arrive à -ln(2)+ln(\frac {N+1} {N^2})

[Dinozzo13]

je ne sais pas pourquoi j'ai f(x)=x²
en faite j'arrive à -ln(2)+ln(\frac {N+1} {N^2})

Salut !

C'est en fait parce que après le première balise, tu as mis directement le " - " : "[TEX]-". Si tu veux contourner ce problème, il faut laisser un espace : "[TEX] -"

Ta somme est curieuse : la variable muette est k et dans le terme qui est sommé, il n'y a pas k mais n.

[Dinozzo13]

Calculons la somme : .

.

Exprime en fonction de et , puis exprime en fonction de .

Normalement, si je ne me suis pas trompé, tu devrais arriver à :
.
Par conséquent, pour ma part, .

[zork]

tu t'es trompé je pense, je trouve 5/16 en utilisant le développement en série entière de 1/(1-x)

personne n'aurait d'idée pour calculer,

[Dinozzo13]

tu t'es trompé je pense, je trouve 5/16 en utilisant le développement en série entière de 1/(1-x)

personne n'aurait d'idée pour calculer,

Oui, c'est possible, j'ai fait ça vite fait au brouillon :++:
A vérifier.

pour l'autre je te propose ça pour la convergence pour l'instant :
donc .
Or , on en déduis, après avoir montré que la suite est strictement croissante, que la somme est majorée par donc qu'elle converge.

[zork]

c'est bon je savais déjà qu'elle convergeait :we:
mais c'est pour la calculer j'y arrive pas

[Ericovitchi]

Elle vaut 0,608699 mais bon ça ne va pas t'avancer beaucoup.

[Le_chat]

Pour ta somme avec des logarithmes: c'est extremement compliqué.

Déjà en utilisant la propriété du logarithme, on est ramenés à calculer le produit des (1+1/n^2) pour n=2 à l'infini.

On peut montrer, mais c'est plutôt compliqué, et ça fait appel à la fonction beta d'euler, que le produit de 1à l'infini des (1+1/n^2) fait sh(pi)/pi.

Alors, ta somme vaut ln(sh(pi)/pi)-ln(2), c'est bien la valeur trouvée par ericovitchi.

Mais bon, donné comme ça, c'est vraiment dur de trouver.

Pour la seconde somme, tu peux utiliser tout simplement les règles de riemann qui donnent la convergence en 2 secondes.

[zork]

je me suis trompé dans un signe en recopiant :mur:
maintenant c'est bon

comment calculer:

j'arrive à après simplification et la série ne converge pas alors qu'elle le devrait

[Le_chat]

Ah du coup c'est plus simple!

Donc ta série ça fait ln(produit des (1-1/n^2)). ON cherche donc le produit des 1-1/n^2, n allant de 2 à l'infini

En réduisant au même dénominateur, 1-1/n^2=(n+1)(n-1)/n^2.

Je me donne m;)2.
Le produit des n+1 , n allant de 2 à m, fait (m+1)!/2.

Le produit des n-1 fait (m-1)!

Et le produit des 1/n^2 fait 1/(m!)^2.

Donc le produit qu'on cherche fait (m+1)!(m-1)!/2(m!)^2 lorsque m tend vers l'infini. Avec ça , tu conclus sans peine.

[Pythales]

Il n'est pas très compliqué de calculer le produit :
Les zéros de , excepté, étant , , les zéros de sont , de sorte qu'on peut écrire :

qu'on peut encore écrire
Le coefficient de étant égal à 1 dans le développement, on a d'où:
et en posant :

et pour

[Le_chat]

C'est une très belle idée je trouve, ça fait comprendre facilement comment ça marche. Par contre, je crois que le produit des x^2+k^2*pi^2 diverge assez méchamment, pour x =1 par exemple, donc l'égalité est fausse, mais la formule finale est juste.