Série

[sad13]

Bonjour, je voudrais montrer la convergence de la série de terme général ln(n)/n² mais j'ai du mal;

j'ai envie de la comparer à la série de t.g 1/(ln(n)*(n)^1/²) car leur produit = 1/n^3/2 et 3/2>1 , d'où la converge par riemann

merci

[Doraki]

Tu ferais mieux de comparer directement la série de terme général ln(n)/n² avec la série de terme général 1/n^(3/2)

[sad13]

montrer la convergence de la série de terme général ln(n)/n²

[Doraki]

ah oui j'avais mal recopié.

[sad13]

ben n^3/2 / n²= n^(-1/2) et 1/2<1 donc cela ne converge pas d'après le critère de Riemann?

[Doraki]

Je ne vois pas trop ce que la série de terme n^(3/2) / n² vient faire dans l'histoire :/

on peut très bien trouver deux séries divergentes de terme général un et vn, mais dont la série de terme un*vn est convergente.

Non quand on dit "comparer des séries", ça veut dire "regarder si le rapport un/vn est borné".
La série de terme général un/vn n'a rien à faire dans la discussion.

[sad13]

En fait mon idée est de montrer que Un=o(Vn) autrement dit, lim Un/Vn=0 et comme c'est des séries à termes positifs si la série de t.g Un converge, on aura de même pour vn

[Doraki]

En fait mon idée est de montrer que Un=o(Vn) autrement dit, lim Un/Vn=0 et comme c'est des séries à termes positifs si la série de t.g Un converge, on aura de même pour vn

Fais gaffe tel que tu l'énonces, c'est dans l'autre sens.
Si Un et Vn sont positives, si la série de terme Vn converge, et que Un=o(Vn), alors la série de terme Un converge aussi.

C'est une idée raisonnable oui. Il ne te reste plus qu'à montrer que la suite (ln(n)/n²) / (1/n^(3/2)) tend vers 0.

[sad13]

Bonsoir, le quotient donne : ln(n)/ n^1/2 qui tend vers 0 en l'infini par les croissances comparées car n^1/2>> ln(n)

[sad13]

Une confirmation svp?

[Doraki]

Ben oui, c'est juste, comme ln(n) est dominée par sqrt(n), ln(n)/n² est dominée par 1/n^3/2, qui est sommable, donc ln(n)/n² est sommable aussi.