Série et intégrales

[daisuke]

Bonjour

voici un petit exercice sur lequel je bloque
j'aimerais bien un peu d'aide et quelques conseils
voici comment se présente l'exercice

1/ Etablir que n^(1/a) Un(a)=1/a*intégrale de Un^(1/a-1)/(1+u/n)^n du
Intégrale allant de 0 à + l'infini

2/ Soit n>1 (ou égal) vérifier que pour tout u>0(ou égal) (1+u/n)^n>1+u (ou égal)

3/ Exprimer lim n^(1/a) Un(a) en fonction de Gamma(1/a) sachant que la fonction de gamma est l'intégrale allant de 0 à l'infini de exp(-t) t^(n-1) dt


J'ai réussis à démontrer la première question en rapport avec des questions précédentes (il s'agit d'un devoir maison)
Pour la seconde question, j'ai effectue un développement asymptotique de (1+u/n)^n obtenant ainsi 1+u+o(u²/n²). Est ce suffisant commre réponse??

Merci d'avance pour votre aide

[fahr451]

bonsoir

1) reste un mystère pour moi sans précison sur Un(a)

2) d'après ta réponse ton développement est à n fixé et u tendant vers 0
(je parlerais de développement limité pour ma part)
donc tu établis un résultat valable pour u "infiniment petit" et certainement pas pour tout u >0 comme demandé

donc NON cela ne va pas

il faut comprendre la différence entre global /local.

[daisuke]

Désolé je viens de me rendre compte que je n'ai pas défini Un qui est en fait

Un(a)= 1/(1+t^a)^n dt

En effectuant un changement de variable avec u=n*t^a dans n^(1/a) Un(a) et je retrouve l'inégalité

Par contre merci pour le renseignement pour la deuxième question, j'avais eu un doute sur ma réponse et maintenant je sais que j'ai faux^^